Uma particula de 10 g executa um MHS com uma amplitude de 2,0 mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0 times 10 m / s^2 e uma constante de fase desconhecida 4. Determine (a) o periodo do movimento (b) a velocidade máxima da partícula e © a energia mecânica total do oscilador. Qual é o módulo da força que age sobre a particula no ponto no qual (d) o deslocamento é máximo? (e) O deslocamento é metade do deslocamento máximo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula de 10 g que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS) com uma amplitude de 2,0 mm, uma aceleração máxima de 8,0 times 10 , m/s^2 e uma constante de fase desconhecida. Precisamos determinar:
(a) O período do movimento
(b) A velocidade máxima da partícula
© A energia mecânica total do oscilador
(d) O módulo da força que age sobre a partícula quando o deslocamento é máximo
(e) O que acontece quando o deslocamento é metade do deslocamento máximo
Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas do MHS e entender o que cada quantidade representa. Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Determinar o período do movimento
Primeiro, vamos lembrar que no MHS, a aceleração máxima ( amax) está relacionada à amplitude ( A) e à constante elástica ( k) pela fórmula:
amax = omega^2 A
Onde omega é a frequência angular. Queremos encontrar o período ( T), que está relacionado a omega por:
T = 2piomega
Mas primeiro, precisamos encontrar omega. Para isso, podemos rearranjar a primeira fórmula:
omega = raizamaxA
Vamos substituir os valores:
amax = 8,0 times 10 , m/s^2 = 8,0 times 10^1 , m/s^2
A = 2,0 , mm = 2,0 times 10^-3 , m
Então,
omega = raiz8,0 times 10^12,0 times 10^-3 = raiz4,0 times 10^4 = 200 , rad/s
Agora, calculamos o período:
T = 2piomega = 2pi200 = pi100 approx 0,0314 , s

Passo 3

Parte (b): Determinar a velocidade máxima da partícula
No MHS, a velocidade máxima ( vmax) está relacionada à amplitude e à frequência angular pela fórmula:
vmax = omega A
Já temos omega = 200 , rad/s e A = 2,0 times 10^-3 , m. Assim,
vmax = 200 times 2,0 times 10^-3 = 0,4 , m/s

Passo 4

Parte ©: Determinar a energia mecânica total do oscilador
A energia mecânica total ( E) no MHS é dada pela soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima, que, no caso do MHS, são iguais e podem ser expressas como:
E = 12 k A^2
Mas precisamos encontrar k. Sabemos que:
omega = raizkm
Onde m é a massa. Rearranjando para k:
k = m omega^2
Dada a massa m = 10 , g = 0,01 , kg e omega = 200 , rad/s:
k = 0,01 times (200)^2 = 0,01 times 40000 = 400 , N/m
Agora, calculamos a energia mecânica:
E = 12 times 400 times (2,0 times 10^-3)^2 = 200 times 4,0 times 10^-6 = 8,0 times 10^-4 , J

Passo 5

Parte (d): Determinar o módulo da força que age sobre a partícula no ponto onde o deslocamento é máximo
No MHS, a força F em qualquer ponto é dada por:
F = -k x
Onde x é o deslocamento. No ponto onde o deslocamento é máximo ( x = A):
Fmax = k A
Já temos k = 400 , N/m e A = 2,0 times 10^-3 , m:
Fmax = 400 times 2,0 times 10^-3 = 0,8 , N

Passo 6

Parte (e): Quando o deslocamento é metade do deslocamento máximo
Vamos considerar que x = A2. A força nesse ponto seria:
F = k times A2 = k A2 = 0,82 = 0,4 , N
Então, o módulo da força quando o deslocamento é metade do máximo é 0,4 , N.

Resposta

(a) O período do movimento é aproximadamente 0,0314 , s.
(b) A velocidade máxima da partícula é 0,4 , m/s.
© A energia mecânica total do oscilador é 8,0 times 10^-4 , J.
(d) O módulo da força no deslocamento máximo é 0,8 , N.
(e) Quando o deslocamento é metade do máximo, a força é 0,4 , N.

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