Os satélites Starlink da empresa norte-americana SpaceX usam propulsores de efeito Hall para ajustes da orientação. O mecanismo completo do propulsor é complicado, mas envolve a ionização de átomos de criptônio e a aceleração dos elétrons liberados,
, e dos íons positivos de criptônio,
, antes que sejam submetidos a um campo magnético. Se eles entram em uma região em que existe um campo magnético de
perpendicular à trajetória com uma velocidade de
, qual é o raio de curvatura (a) dos elétrons (que sofrem um grande desvio) e (b) dos íons positivos (que sofrem um desvio muito pequeno)? A diferença entre as deflexões separa os elétrons e os íons de
dentro do pequeno espaço do satélite. A massa do Kr é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve o movimento de partículas carregadas, especificamente elétrons e íons de criptônio (Kr⁺), em um campo magnético. O assunto principal aqui é o movimento circular de partículas carregadas em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade, a massa, a carga das partículas e a intensidade do campo magnético influenciam o raio da trajetória que essas partículas vão seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica da física que descreve o raio de curvatura ® de uma partícula carregada que se move perpendicularmente a um campo magnético. A fórmula é:
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ v $ é a velocidade da partícula,
- $ q $ é a carga elétrica da partícula,
- $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Essa fórmula nos diz que o raio da trajetória depende diretamente da massa e da velocidade da partícula, e inversamente da carga e do campo magnético.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que precisamos para cada partícula.
Para os elétrons ($ e^- $):
- Massa ($ m $): $ 9,11 \times 10^{-31} $ kg (massa do elétron).
- Carga ($ q $): $ 1,60 \times 10^{-19} $ C (carga do elétron).
- Velocidade ($ v $): $ 21 \times 10^{3} $ m/s (21 km/s convertido para m/s).
- Campo magnético ($ B $): $ 0,020 $ T.
Para os íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $):
- Massa ($ m $): $ 1,39 \times 10^{-25} $ kg.
- Carga ($ q $): Como é $ \mathrm{Kr}^{+} $, a carga é $ +1 \times 1,60 \times 10^{-19} $ C.
- Velocidade ($ v $): Também $ 21 \times 10^{3} $ m/s.
- Campo magnético ($ B $): $ 0,020 $ T.
Passo 4
Vamos calcular o raio de curvatura para os elétrons primeiro usando a fórmula que mencionamos.
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso passo a passo:
- Multiplicar a massa pela velocidade:
- Multiplicar a carga pelo campo magnético:
- Dividir os dois resultados:
Convertendo para micrômetros:
Passo 5
Agora, vamos calcular o raio de curvatura para os íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $) usando a mesma fórmula.
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicar a massa pela velocidade:
- Multiplicar a carga pelo campo magnético:
- Dividir os dois resultados:
Convertendo para centímetros:
Resposta
(a) O raio de curvatura dos elétrons é aproximadamente 5,98 micrômetros.
(b) O raio de curvatura dos íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $) é aproximadamente 9,12 centímetros.
(b) O raio de curvatura dos íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $) é aproximadamente 9,12 centímetros.