Os satélites Starlink da empresa norte-americana SpaceX usam propulsores de efeito Hall para ajustes da orientação. O mecanismo completo do propulsor é complicado, mas envolve a ionização de átomos de criptônio e a aceleração dos elétrons liberados, e^-, e dos íons positivos de criptônio, Kr^+, antes que sejam submetidos a um campo magnético. Se eles entram em uma região em que existe um campo magnético de 0,020 T perpendicular à trajetória com uma velocidade de 21 km / s, qual é o raio de curvatura (a) dos elétrons (que sofrem um grande desvio) e (b) dos íons positivos (que sofrem um desvio muito pequeno)? A diferença entre as deflexões separa os elétrons e os íons de Kr^+ dentro do pequeno espaço do satélite. A massa do Kr é 1,39 times 10^-25 kg.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve o movimento de partículas carregadas, especificamente elétrons e íons de criptônio (Kr⁺), em um campo magnético. O assunto principal aqui é o movimento circular de partículas carregadas em campos magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade, a massa, a carga das partículas e a intensidade do campo magnético influenciam o raio da trajetória que essas partículas vão seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica da física que descreve o raio de curvatura ® de uma partícula carregada que se move perpendicularmente a um campo magnético. A fórmula é:
r = m times vq times B
Onde:
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ v $ é a velocidade da partícula,
  • $ q $ é a carga elétrica da partícula,
  • $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Essa fórmula nos diz que o raio da trajetória depende diretamente da massa e da velocidade da partícula, e inversamente da carga e do campo magnético.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que precisamos para cada partícula.
Para os elétrons ($ e^- $):
  • Massa ($ m $): $ 9,11 \times 10^{-31} $ kg (massa do elétron).
  • Carga ($ q $): $ 1,60 \times 10^{-19} $ C (carga do elétron).
  • Velocidade ($ v $): $ 21 \times 10^{3} $ m/s (21 km/s convertido para m/s).
  • Campo magnético ($ B $): $ 0,020 $ T.
Para os íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $):
  • Massa ($ m $): $ 1,39 \times 10^{-25} $ kg.
  • Carga ($ q $): Como é $ \mathrm{Kr}^{+} $, a carga é $ +1 \times 1,60 \times 10^{-19} $ C.
  • Velocidade ($ v $): Também $ 21 \times 10^{3} $ m/s.
  • Campo magnético ($ B $): $ 0,020 $ T.

Passo 4

Vamos calcular o raio de curvatura para os elétrons primeiro usando a fórmula que mencionamos.
r = m times vq times B
Substituindo os valores:
re = 9,11 times 10^-31 , kg times 21 times 10^3 , m/s1,60 times 10^-19 , C times 0,020 , T
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Multiplicar a massa pela velocidade:
9,11 times 10^-31 times 21 times 10^3 = 1,9131 times 10^-26 , kg·m/s
  1. Multiplicar a carga pelo campo magnético:
1,60 times 10^-19 times 0,020 = 3,2 times 10^-21 , C·T
  1. Dividir os dois resultados:
re = 1,9131 times 10^-263,2 times 10^-21 approx 5,98 times 10^-6 , m
Convertendo para micrômetros:
5,98 times 10^-6 , m = 5,98 , mum

Passo 5

Agora, vamos calcular o raio de curvatura para os íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $) usando a mesma fórmula.
Kr^+
Substituindo os valores:
r = m times vq times B
Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicar a massa pela velocidade:
rKr^+ = 1,39 times 10^-25 , kg times 21 times 10^3 , m/s1,60 times 10^-19 , C times 0,020 , T
  1. Multiplicar a carga pelo campo magnético:
1,39 times 10^-25 times 21 times 10^3 = 2,919 times 10^-22 , kg·m/s
  1. Dividir os dois resultados:
1,60 times 10^-19 times 0,020 = 3,2 times 10^-21 , C·T
Convertendo para centímetros:
rKr^+ = 2,919 times 10^-223,2 times 10^-21 approx 0,0912 , m

Resposta

(a) O raio de curvatura dos elétrons é aproximadamente 5,98 micrômetros.
(b) O raio de curvatura dos íons de criptônio ($ \mathrm{Kr}^{+} $) é aproximadamente 9,12 centímetros.

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