Um carro tem um sistema de suspensão modelado como massa-mola amortecida. A massa efetiva associada a uma roda é de m=300 kg, com constante de mola k=18000 N / m e coeficiente de amortecimento b=1200 kg / s. Suponha que o carro tenha passado por uma lombada, provocando um deslocamento vertical inicial de 0,05 m, sem velocidade inicial.
a) Determine se o sistema é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido.
b) Encontre a equação do movimento x(t).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com m=300,kg, k=18000,N/m e b=1200,kg/s. A equação do movimento livre é
m,x'' + b,x' + k,x = 0
e temos condição inicial de deslocamento x(0)=0,05,m e velocidade inicial x'(0)=0. Vamos (i) classificar o amortecimento pelo discriminante b^2-4mk e (ii) resolver a EDO para achar x(t).

Passo 2

Calculamos
b^2 = (1200)^2 = 1,44times10^6, 4mk = 4cdot300cdot18000 = 2,16times10^7
Como
b^2 < 4mk,
o sistema é subamortecido.

Passo 3

Para subamortecimento escrevemos a solução geral como
x(t) = e^-gamma tl(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r),
onde
gamma = b2m = 12002cdot300=2s^-1, omega0 = raizkm = raiz18000300 = raiz60,
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz60 - 2^2 = raiz56approx7,483 s^-1
Usando x(0)=0,05,m dá A=0,05. A condição x'(0)=0 implica
x'(0) = -gamma A + omegad B = 0 ;Rightarrow; B = gammaomegad,A = 27,483cdot0,05approx0,01335
Logo a solução fica
x(t) = 0,05,e^-2tl[cosl(7,483,tr) + 27,483,sinl(7,483,tr)r]

Resposta

a) O sistema é subamortecido.
b)
x(t) = 0,05,e^-2tl[cosl(7,483,tr) + 0,2673,sinl(7,483,tr)r] m

Exercícios relacionados