Dado o oscilador amortecido forçado, onde a equação do movimento pode ser escrita como:
m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) .
Mostre, usando operadores diferenciais lineares, que a solução geral é:
x(t)=A \cos (\omega t-\delta)+C_{1} \mathrm{e}^{r_{1} t}+C_{2} \mathrm{e}^{r_{2} t}
onde
A^{2}=\frac{f_{o}^{2}}{\left(\omega_{o}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}, \quad \delta=\arctan \left(\frac{2 \beta \omega}{\omega_{o}^{2}-\omega^{2}}\right) .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do oscilador amortecido forçado
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F(t).
Para obter a forma que o enunciado pede, assumiremos que a força externa é harmônica de amplitude F_{0} e frequência \omega, isto é,
F(t)=F_{0}\cos(\omega t).
As quantidades e objetivos que o problema fornece ou pede são:
  • A equação diferencial para x(t): m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F_{0}\cos(\omega t).
  • Mostrar que a solução geral tem a forma
x(t)=A\cos(\omega t-\delta)+C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
e obter as expressões para A e \delta:
A^{2}=\frac{f_{0}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}},\qquad \delta=\arctan\!\left(\frac{2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right).
  • Observação de notação útil que usaremos: vamos dividir toda a equação por m para trabalhar com a forma normalizada. Definimos então
f_{0}=\frac{F_{0}}{m},\qquad \beta=\frac{b}{2m},\qquad \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escrevendo a equação em forma de operador diferencial linear — isto é, usando D para representar a derivada temporal D=\dfrac{d}{dt} — a equação divide-se por m e fica
\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f_{0}\cos(\omega t).
Em operador:
L[x]\equiv\bigl(D^{2}+2\beta D+\omega_{0}^{2}\bigr)[x]=f_{0}\cos(\omega t).
Aqui o operador L é linear, o que implica duas propriedades importantes que vamos usar:
  • Superposição: a solução geral é soma de uma solução particular x_{p} (devida à força externa) e da solução geral x_{h} da equação homogênea L[x_{h}]=0.
  • Aplicar L a exponenciais é fácil: L[e^{rt}]=\bigl(r^{2}+2\beta r+\omega_{0}^{2}\bigr)e^{rt}.

Passo 3

Resolver a equação homogênea L[x_{h}]=0. Procuramos soluções da forma x_{h}=e^{rt}. Substituindo em D^{2}+2\beta D+\omega_{0}^{2} obtemos o polinômio característico
r^{2}+2\beta r+\omega_{0}^{2}=0.
As raízes são
r_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Portanto a solução geral da parte homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais. Observação: para caso subamortecido (mais comum), \beta^{2}<\omega_{0}^{2}, as raízes são complexas conjugadas r_{1,2}=-\beta\pm i\omega_{1} com \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}, e a combinação exponencial complexa se escreve em cosseno amortecido; mas a forma C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t} é válida em geral.

Passo 4

Encontrar uma solução particular x_{p} para o forçamento harmônico. Método (muito usado em prova): extende-se a força para a exponencial complexa e procura-se uma solução complexa proporcional a e^{i\omega t}; no final toma-se a parte real. Ou seja, considere a equação complexa
\bigl(D^{2}+2\beta D+\omega_{0}^{2}\bigr)[\tilde{x}]=f_{0}e^{i\omega t},
buscando \tilde{x}(t)=\tilde{X}e^{i\omega t} com \tilde{X} complexo constante. Aplicando o operador:
L[\tilde{X}e^{i\omega t}]=\bigl(-\omega^{2}+2i\beta\omega+\omega_{0}^{2}\bigr)\tilde{X}e^{i\omega t}.
Igualando à força complexa f_{0}e^{i\omega t} obtemos
\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+2i\beta\omega\bigr)\tilde{X}=f_{0},
ou seja
\tilde{X}=\frac{f_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+2i\beta\omega}.
A solução real particular procurada é a parte real de \tilde{X}e^{i\omega t}. Vamos escrever \tilde{X} em forma modulofarase para extrair amplitude e defasagem.

Passo 5

Cálculo da amplitude e da fase a partir de \tilde{X}. Denote o numerador real por f_{0} e o denominador por a+ib com
a=\omega_{0}^{2}-\omega^{2},\qquad b=2\beta\omega.
Então
\tilde{X}=\frac{f_{0}}{a+ib} = \frac{f_{0}(a-ib)}{a^{2}+b^{2}}.
A parte real de \tilde{X}e^{i\omega t} é uma cosseno deslocado:
x_{p}(t)=\Re\bigl(\tilde{X}e^{i\omega t}\bigr)=A\cos(\omega t-\delta),
onde A é o módulo de \tilde{X} e \delta é o argumento (fase) apropriada. Escrevendo o módulo:
A=|\tilde{X}|=\frac{f_{0}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} =\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(2\beta\omega\right)^{2}}}.
Elevando ao quadrado,
A^{2}=\frac{f_{0}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}},
que é justamente a expressão pedida para A^{2}.
Para a fase, como \tilde{X}=f_{0}/(a+ib), o argumento de \tilde{X} é o negativo do argumento do denominador; portanto a defasagem \delta (tal que x_{p}=A\cos(\omega t-\delta)) satisfaz
\delta=\arg(a+ib)=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right) =\arctan\!\left(\frac{2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right).
(Obs.: tomar cuidado com o quadrante no caso em que a<0; na prática usa-se a função \operatorname{atan2}(b,a) para obter a fase correta. Em prova, muitas vezes a escrita acima é suficiente.)

Passo 6

Combinar particular e homogênea por superposição. Como L é linear, a solução geral da equação forçada é
x(t)=x_{p}(t)+x_{h}(t).
Usando as expressões obtidas,
x(t)=A\cos(\omega t-\delta)+C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde r_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}, A é dado pela fórmula do Passo 5 e \delta pela arcotangente indicada. Essa é exatamente a forma solicitada. Para reforçar: C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais; a primeira parcela A\cos(\omega t-\delta) é a resposta estacionária forçada (saldo permanente), enquanto as exponenciais decrescentes representam a resposta transitória que some com o tempo se houver amortecimento ( \Re(r_{1,2})<0).

Resposta

x(t)=A\cos(\omega t-\delta)+C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}
A^{2}=\frac{f_{0}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}},\qquad \delta=\arctan\!\left(\frac{2\beta\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)

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