Dado o oscilador amortecido forçado, onde a equação do movimento pode ser escrita como:
Mostre, usando operadores diferenciais lineares, que a solução geral é:
onde
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do oscilador amortecido forçado
Para obter a forma que o enunciado pede, assumiremos que a força externa é harmônica de amplitude
e frequência
, isto é,
As quantidades e objetivos que o problema fornece ou pede são:
- A equação diferencial para
: . - Mostrar que a solução geral tem a forma
e obter as expressões para
e
:
- Observação de notação útil que usaremos: vamos dividir toda a equação por
para trabalhar com a forma normalizada. Definimos então
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Escrevendo a equação em forma de operador diferencial linear — isto é, usando
para representar a derivada temporal
— a equação divide-se por
e fica
Em operador:
Aqui o operador
é linear, o que implica duas propriedades importantes que vamos usar:
- Superposição: a solução geral é soma de uma solução particular
(devida à força externa) e da solução geral da equação homogênea . - Aplicar
a exponenciais é fácil: .
Passo 3
Resolver a equação homogênea
. Procuramos soluções da forma
. Substituindo em
obtemos o polinômio característico
As raízes são
Portanto a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Observação: para caso subamortecido (mais comum),
, as raízes são complexas conjugadas
com
, e a combinação exponencial complexa se escreve em cosseno amortecido; mas a forma
é válida em geral.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
para o forçamento harmônico. Método (muito usado em prova): extende-se a força para a exponencial complexa e procura-se uma solução complexa proporcional a
; no final toma-se a parte real. Ou seja, considere a equação complexa
buscando
com
complexo constante. Aplicando o operador:
Igualando à força complexa
obtemos
ou seja
A solução real particular procurada é a parte real de
. Vamos escrever
em forma modulofarase para extrair amplitude e defasagem.
Passo 5
Cálculo da amplitude e da fase a partir de
. Denote o numerador real por
e o denominador por
com
Então
A parte real de
é uma cosseno deslocado:
onde
é o módulo de
e
é o argumento (fase) apropriada. Escrevendo o módulo:
Elevando ao quadrado,
que é justamente a expressão pedida para
.
Para a fase, como
, o argumento de
é o negativo do argumento do denominador; portanto a defasagem
(tal que
) satisfaz
(Obs.: tomar cuidado com o quadrante no caso em que
; na prática usa-se a função
para obter a fase correta. Em prova, muitas vezes a escrita acima é suficiente.)
Passo 6
Combinar particular e homogênea por superposição. Como
é linear, a solução geral da equação forçada é
Usando as expressões obtidas,
onde
,
é dado pela fórmula do Passo 5 e
pela arcotangente indicada. Essa é exatamente a forma solicitada. Para reforçar:
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais; a primeira parcela
é a resposta estacionária forçada (saldo permanente), enquanto as exponenciais decrescentes representam a resposta transitória que some com o tempo se houver amortecimento (
).