Um pêndulo de Foucault grande, como o que está em muitos museus de ciências, pode oscilar por muitas horas antes que amorteça completamente. Considerando o tempo de decaimento como 8 horas e o comprimento de 30 metros, determine o fator de qualidade Q.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo de decaimento: 8 horas.
    • Comprimento do pêndulo: 30\\ \text{m}.
  • O que se pede:
    • Determinar o fator de qualidade Q do pêndulo.
Observação sobre o termo “tempo de decaimento”: vou assumir que esse tempo é o tempo característico em que a amplitude decai por um fator e (isto é, a constante de decaimento da amplitude). Vou explicitar e justificar esse uso mais adiante.

Passo 2

Conceitos físicos básicos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Pêndulo simples (pequenas oscilações): a pulsação natural (frequência angular) é dada por
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}},
onde
  • \omega_0 é a pulsação natural (em \text{s}^{-1}),
  • g é a aceleração da gravidade (usar g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2),
  • L é o comprimento do pêndulo (em \text{m}).
Explicação rápida: para pequenas oscilações a força restauradora é aproximadamente linear em torno da posição de equilíbrio, o que transforma o movimento em um oscilador harmônico simples com a pulsação acima.

Passo 3

Modelo de amortecimento e definição de constantes.
  • Equação do oscilador amortecido (linha conceitual):
\ddot x + 2\beta\dot x + \omega_0^2 x = 0,
onde \beta (em \text{s}^{-1}) é a taxa de amortecimento (metade do coeficiente de amortecimento na forma padrão).
  • Solução sob-amortecida relevante:
x(t)=A_0 e^{-\beta t}\cos(\omega_d t+\varphi),
portanto a amplitude decai como A(t)=A_0 e^{-\beta t}.
  • Se chamamos de tempo de decaimento da amplitude \tau_a o tempo em que a amplitude cai a 1/e do valor inicial, então vale
\tau_a=\frac{1}{\beta}.
Comentário sobre ambiguidade: a energia do oscilador decai como E\propto A^2, logo o tempo de decaimento da energia seria \tau_E=1/(2\beta). Como o enunciado não especifica, a escolha mais direta (e usual em problemas elementares) é interpretar “tempo de decaimento” como o tempo característico da amplitude \tau_a. Vou seguir essa interpretação.

Passo 4

Definição do fator de qualidade Q e relação com \beta e \tau_a.
  • Definição padrão:
Q=\frac{\omega_0}{2\beta}.
  • Usando \beta=1/\tau_a obtemos
Q=\frac{\omega_0}{2}\tau_a.
Explicação: Q mede quantos radianos de oscilação a velocidade de amortecimento permite — é grande quando o amortecimento é fraco. A fórmula acima é direta do modelo amortecido linear.

Passo 5

Converter os dados para unidades consistentes e calcular \omega_0.
  • Converter o tempo dado para segundos (unidade SI):
8\\ \text{h}=8\times3600\\ \text{s}=28800\\ \text{s}.
Como estamos interpretando esse tempo como \tau_a, temos \tau_a=28800\\ \text{s}.
  • Calcular \omega_0 com g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e L=30\\ \text{m}:
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}=\sqrt{\frac{9{,}81}{30}}=\sqrt{0{,}327}=0{,}5719\\ \text{s}^{-1}\\ (\text{aprox.}).
Mostrando a conta: \dfrac{9{,}81}{30}=0{,}327 e \sqrt{0{,}327}\approx0{,}5719.

Passo 6

Calcular Q numericamente.
  • Usando a relação \displaystyle Q=\frac{\omega_0}{2}\tau_a:
Q=\frac{0{,}5719}{2}\times28800=0{,}28595\times28800.
  • Fazer a multiplicação:
Q\approx0{,}28595\times28800\approx8235.
Arredondando com duas casas significativas:
Q\approx8,24\times10^{3}.

Passo 7

Interpretação didática e check rápido.
  • Resultado: Q é da ordem de milhares, o que corresponde a um pêndulo com amortecimento extremamente fraco — faz sentido físico, já que grandes pêndulos de museu oscilam por muitas horas.
  • Para intuição: o período do pêndulo é
T=\frac{2\pi}{\omega_0}\approx\frac{2\pi}{0{,}5719}\approx10{,}98\\ \text{s},
então em 28800\\ \text{s} cabem cerca de 28800/10{,}98\approx2623 oscilações; o Q obtido está consistente com um grande número de ciclos antes de grande atenuação.

Resposta

Q \approx 8{,}24\times10^{3}

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