Um pêndulo de Foucault grande, como o que está em muitos museus de ciências, pode oscilar por muitas horas antes que amorteça completamente. Considerando o tempo de decaimento como 8 horas e o comprimento de 30 metros, determine o fator de qualidade
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Tempo de decaimento:
horas. - Comprimento do pêndulo:
.
- Tempo de decaimento:
- O que se pede:
- Determinar o fator de qualidade
do pêndulo.
- Determinar o fator de qualidade
Observação sobre o termo “tempo de decaimento”: vou assumir que esse tempo é o tempo característico em que a amplitude decai por um fator
(isto é, a constante de decaimento da amplitude). Vou explicitar e justificar esse uso mais adiante.
Passo 2
Conceitos físicos básicos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
- Pêndulo simples (pequenas oscilações): a pulsação natural (frequência angular) é dada por
onde
-
é a pulsação natural (em ), -
é a aceleração da gravidade (usar ), -
é o comprimento do pêndulo (em ).
Explicação rápida: para pequenas oscilações a força restauradora é aproximadamente linear em torno da posição de equilíbrio, o que transforma o movimento em um oscilador harmônico simples com a pulsação acima.
Passo 3
Modelo de amortecimento e definição de constantes.
- Equação do oscilador amortecido (linha conceitual):
onde
(em
) é a taxa de amortecimento (metade do coeficiente de amortecimento na forma padrão).
- Solução sob-amortecida relevante:
portanto a amplitude decai como
.
- Se chamamos de tempo de decaimento da amplitude
o tempo em que a amplitude cai a do valor inicial, então vale
Comentário sobre ambiguidade: a energia do oscilador decai como
, logo o tempo de decaimento da energia seria
. Como o enunciado não especifica, a escolha mais direta (e usual em problemas elementares) é interpretar “tempo de decaimento” como o tempo característico da amplitude
. Vou seguir essa interpretação.
Passo 4
Definição do fator de qualidade
e relação com
e
.
- Definição padrão:
- Usando
obtemos
Explicação:
mede quantos radianos de oscilação a velocidade de amortecimento permite — é grande quando o amortecimento é fraco. A fórmula acima é direta do modelo amortecido linear.
Passo 5
Converter os dados para unidades consistentes e calcular
.
- Converter o tempo dado para segundos (unidade SI):
Como estamos interpretando esse tempo como
, temos
.
- Calcular
com e :
Mostrando a conta:
e
.
Passo 6
Calcular
numericamente.
- Usando a relação
:
- Fazer a multiplicação:
Arredondando com duas casas significativas:
Passo 7
Interpretação didática e check rápido.
- Resultado:
é da ordem de milhares, o que corresponde a um pêndulo com amortecimento extremamente fraco — faz sentido físico, já que grandes pêndulos de museu oscilam por muitas horas. - Para intuição: o período do pêndulo é
então em
cabem cerca de
oscilações; o
obtido está consistente com um grande número de ciclos antes de grande atenuação.