Uma carruagem puxada a cavalo está desacelerando a 2.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} enquanto se move em linha reta. Uma lâmpada de massa 1.188 kg está pendurada no teto da carruagem em uma corda com 2.5 m de comprimento. Calcule o ângulo que a corda faz com a vertical, considerando o sentido anti-horário, a partir da vertical, como positivo. Considere \vec{g}=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula.

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Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • A carruagem está desacelerando com aceleração de módulo a=2.6\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A lâmpada tem massa m=1.188\\ \mathrm{kg}.
  • O comprimento da corda é L=2.5\\ \mathrm{m}.
  • A aceleração da gravidade vale g=9.81\\ \mathrm{m/s^2} (foi dada no enunciado como \vec{g}=9.81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Pede-se: calcular o ângulo que a corda faz com a vertical, considerando o sentido anti-horário a partir da vertical como positivo.
Observações importantes (apenas identificação dos dados, sem resolver ainda):
  • O enunciado diz que a carruagem está desacelerando; isso significa que sua aceleração está no sentido oposto à velocidade. A lâmpada tende a ficar em equilíbrio com a carruagem (ângulo constante) enquanto a montagem se move com aceleração horizontal a.
  • O enunciado pede o sinal do ângulo segundo a convenção: anti-horário (sentido anti-horário) a partir da vertical é positivo — então se a corda inclinar para a direita (sentido horário) o ângulo será negativo.

Passo 2

Desenho mental e forças atuantes (ideia física):
  • Faça um diagrama de corpo livre da lâmpada (imagina a lâmpada suspensa na corda dentro da carruagem):
    • A força peso atua para baixo com módulo mg.
    • A tensão da corda T atua ao longo da corda, formando um ângulo \theta com a vertical.
  • Como a lâmpada está se movendo junto com a carruagem com aceleração horizontal constante a, ela tem aceleração horizontal não nula; portanto as forças horizontais não se anulam. Vamos usar as equações de Newton (referencial inercial) para escrever a soma de forças = m vezes a aceleração.
Explicando os componentes de T:
  • Se definimos y para cima e x para a direita, então a tensão tem componentes:
    • componente vertical: T_y = T\cos(\theta) (porque \cos é o adjacente ao ângulo medido a partir da vertical),
    • componente horizontal: T_x = T\sin(\theta) (porque \sin é o oposto ao ângulo medido a partir da vertical).
  • Nota didática: ao medir \theta a partir da vertical, a projeção vertical usa \cos e a horizontal usa \sin. Sempre desenhe o triângulo para lembrar dessa relação.

Passo 3

Equações de Newton (componentes) e relação entre \theta, a e g:
  • Na direção vertical ( y): não há aceleração vertical (a lâmpada não sobe nem desce quando o ângulo é constante), logo a soma das forças verticais é zero:
T\cos(\theta)-mg=0.
  • Na direção horizontal ( x): existe aceleração horizontal igual à aceleração da carruagem. Tomando a como o módulo da aceleração horizontal e tratando o sinal à parte, a soma das forças horizontais é
\pm T\sin(\theta)=m a.
(Escolhemos o sinal de acordo com a direção: se a corda inclina para a direita então T\sin(\theta) aponta para a direita; se para a esquerda, aponta para a esquerda.)
  • Agora dividimos a equação horizontal pela vertical para eliminar T e m (isso mostra por que massa e comprimento não aparecem na resposta do ângulo):
\frac{T\sin(\theta)}{T\cos(\theta)}=\frac{m a}{mg}\quad\Rightarrow\quad \tan(\theta)=\frac{a}{g}.
  • Esta é a relação chave: o ângulo (em magnitude) satisfaz \tan(\theta)=a/g.

Passo 4

Interpretação do sinal do ângulo segundo a convenção anti-horário positivo:
  • Precisamos decidir o sinal de \theta usando a convenção dada: anti-horário a partir da vertical é positivo.
  • Considere que a carruagem move-se para a direita e está desacelerando. A desaceleração significa que a sua aceleração aponta para a esquerda; a lâmpada tende a continuar para a direita (inércia), portanto, em relação à carruagem, a lâmpada inclina-se para a direita (ou seja, na direção do movimento original). Inclinação para a direita é no sentido horário a partir da vertical.
  • Como o sentido horário é o oposto do sentido anti-horário, o ângulo \theta medido anti-horário será negativo. Assim:
\theta = -\arctan\!\left(\frac{a}{g}\right).

Passo 5

Cálculo numérico do ângulo:
  • Primeiro calcule a razão:
\frac{a}{g}=\frac{2.6}{9.81}\approx 0.2650.
  • Agora o arco-tangente (em graus):
\arctan(0.2650)\approx 14.86^\circ.
  • Incorporando o sinal (veja Passo 4), o ângulo pedido é
\theta \approx -14.86^\circ.

Passo 6

Comentário final e intuição rápida (para a prova):
  • Repare que nem m nem L aparecem na fórmula do ângulo: eles cancelam ao dividir as componentes; portanto em problemas de pêndulo estático sob aceleração horizontal, só importa a razão a/g.
  • Regra de bolso: quando um pêndulo fica estático em um veículo acelerado horizontalmente, o fio fica desviado tal que \tan(\theta)=\dfrac{a}{g}; o sinal do \theta depende da direção do desvio em relação à convenção de sinais.

Resposta

-14.86^\circ

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