Uma carruagem puxada a cavalo está desacelerando a
enquanto se move em linha reta. Uma lâmpada de massa 1.188 kg está pendurada no teto da carruagem em uma corda com 2.5 m de comprimento. Calcule o ângulo que a corda faz com a vertical, considerando o sentido anti-horário, a partir da vertical, como positivo. Considere
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula.
Verificar
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (copiados do enunciado):
- A carruagem está desacelerando com aceleração de módulo
. - A lâmpada tem massa
. - O comprimento da corda é
. - A aceleração da gravidade vale
(foi dada no enunciado como ). - Pede-se: calcular o ângulo que a corda faz com a vertical, considerando o sentido anti-horário a partir da vertical como positivo.
Observações importantes (apenas identificação dos dados, sem resolver ainda):
- O enunciado diz que a carruagem está desacelerando; isso significa que sua aceleração está no sentido oposto à velocidade. A lâmpada tende a ficar em equilíbrio com a carruagem (ângulo constante) enquanto a montagem se move com aceleração horizontal
. - O enunciado pede o sinal do ângulo segundo a convenção: anti-horário (sentido anti-horário) a partir da vertical é positivo — então se a corda inclinar para a direita (sentido horário) o ângulo será negativo.
Passo 2
Desenho mental e forças atuantes (ideia física):
- Faça um diagrama de corpo livre da lâmpada (imagina a lâmpada suspensa na corda dentro da carruagem):
- A força peso atua para baixo com módulo
. - A tensão da corda
atua ao longo da corda, formando um ângulo com a vertical.
- A força peso atua para baixo com módulo
- Como a lâmpada está se movendo junto com a carruagem com aceleração horizontal constante
, ela tem aceleração horizontal não nula; portanto as forças horizontais não se anulam. Vamos usar as equações de Newton (referencial inercial) para escrever a soma de forças = vezes a aceleração.
Explicando os componentes de
:
- Se definimos
para cima e para a direita, então a tensão tem componentes: - componente vertical:
(porque é o adjacente ao ângulo medido a partir da vertical), - componente horizontal:
(porque é o oposto ao ângulo medido a partir da vertical).
- componente vertical:
- Nota didática: ao medir
a partir da vertical, a projeção vertical usa e a horizontal usa . Sempre desenhe o triângulo para lembrar dessa relação.
Passo 3
Equações de Newton (componentes) e relação entre
,
e
:
- Na direção vertical (
): não há aceleração vertical (a lâmpada não sobe nem desce quando o ângulo é constante), logo a soma das forças verticais é zero:
- Na direção horizontal (
): existe aceleração horizontal igual à aceleração da carruagem. Tomando como o módulo da aceleração horizontal e tratando o sinal à parte, a soma das forças horizontais é
(Escolhemos o sinal de acordo com a direção: se a corda inclina para a direita então
aponta para a direita; se para a esquerda, aponta para a esquerda.)
- Agora dividimos a equação horizontal pela vertical para eliminar
e (isso mostra por que massa e comprimento não aparecem na resposta do ângulo):
- Esta é a relação chave: o ângulo (em magnitude) satisfaz
.
Passo 4
Interpretação do sinal do ângulo segundo a convenção anti-horário positivo:
- Precisamos decidir o sinal de
usando a convenção dada: anti-horário a partir da vertical é positivo. - Considere que a carruagem move-se para a direita e está desacelerando. A desaceleração significa que a sua aceleração aponta para a esquerda; a lâmpada tende a continuar para a direita (inércia), portanto, em relação à carruagem, a lâmpada inclina-se para a direita (ou seja, na direção do movimento original). Inclinação para a direita é no sentido horário a partir da vertical.
- Como o sentido horário é o oposto do sentido anti-horário, o ângulo
medido anti-horário será negativo. Assim:
Passo 5
Cálculo numérico do ângulo:
- Primeiro calcule a razão:
- Agora o arco-tangente (em graus):
- Incorporando o sinal (veja Passo 4), o ângulo pedido é
Passo 6
Comentário final e intuição rápida (para a prova):
- Repare que nem
nem aparecem na fórmula do ângulo: eles cancelam ao dividir as componentes; portanto em problemas de pêndulo estático sob aceleração horizontal, só importa a razão . - Regra de bolso: quando um pêndulo fica estático em um veículo acelerado horizontalmente, o fio fica desviado tal que
; o sinal do depende da direção do desvio em relação à convenção de sinais.