Uma nadadora atravessa um rio, nadando a
em relação à água. Quando nada em linha reta, em relação à água, chega num ponto a 49.1 m a jusante do ponto diretamente do outro lado do rio. O rio tem 84.1 m de largura. Em qual ângulo em relação à vertical a nadadora deveria dirigir-se para chegar ao ponto diretamente em frente ao seu ponto de partida?
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!
Passo 1
O enunciado pede: em qual ângulo, em relação à vertical, a nadadora deve dirigir-se para que chegue exatamente no ponto diretamente em frente ao seu ponto de partida?\n
Informações dadas (retiradas do enunciado):
Informações dadas (retiradas do enunciado):
Passo 2
Entendendo a situação e o conceito de velocidade relativa (explicação didática):
\n
Quando dizemos “velocidade da nadadora em relação à água” estamos descrevendo a velocidade que a nadadora consegue em relação ao fluido. A velocidade observada em relação ao chão (ou às margens) é a soma vetorial da velocidade da nadadora relativa à água e da velocidade da água (corrente).\n
Em termos práticos, devemos decompor essas velocidades em componentes: uma componente perpendicular às margens (vou chamar de componente vertical, que atravessa o rio) e uma componente paralela às margens (horizontal, que dá o deslocamento a jusante ou a montante).\n
Para eliminar o desvio a jusante, a componente horizontal da velocidade da nadadora (apontando para montante) deve cancelar a velocidade da corrente (apontando para jusante).
\n
Quando dizemos “velocidade da nadadora em relação à água” estamos descrevendo a velocidade que a nadadora consegue em relação ao fluido. A velocidade observada em relação ao chão (ou às margens) é a soma vetorial da velocidade da nadadora relativa à água e da velocidade da água (corrente).\n
Em termos práticos, devemos decompor essas velocidades em componentes: uma componente perpendicular às margens (vou chamar de componente vertical, que atravessa o rio) e uma componente paralela às margens (horizontal, que dá o deslocamento a jusante ou a montante).\n
Para eliminar o desvio a jusante, a componente horizontal da velocidade da nadadora (apontando para montante) deve cancelar a velocidade da corrente (apontando para jusante).
Passo 3
Calcular a velocidade da corrente usando o caso em que ela nada “em linha reta” em relação à água (interpretado como ela apontando perpendicularmente às margens):\n
Se ela aponta perpendicularmente, a componente da sua velocidade que atravessa o rio é toda a sua velocidade de . O tempo que leva para atravessar é
Se ela aponta perpendicularmente, a componente da sua velocidade que atravessa o rio é toda a sua velocidade de
Nesse tempo a corrente levou-a
a jusante, logo a velocidade da corrente é
Para simplificar a escrita, podemos manter a fração e também calcular o valor decimal:
Passo 4
Montar a equação para o ângulo que elimina o desvio (explicação didática sobre trigonometria aplicada):\n
Chame o ângulo entre a direção que a nadadora aponta e a vertical, medido em direção a montante (ou seja,
é o ângulo “para cima/contra a corrente” a partir da vertical). Desenhando o vetor velocidade da nadadora em relação à água com magnitude
, suas componentes são:
Chame
Para que o deslocamento a jusante seja zero, a componente horizontal para montante deve igualar a velocidade da corrente:
Portanto
Passo 5
Resolver para
:\n
Substituindo o valor encontrado em ,
Substituindo o valor encontrado em
Logo
Para obter o valor em graus, calculamos explicitamente. Primeiro calculamos
(usado se quisermos converter por meio de arctan) ou aplicamos diretamente a função arcsin; aqui faço a conversão por arctan para mostrar passo a passo:
Então
Convertendo para graus:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (didática e motivadora):\n
Esse ângulo significa que ela deve apontar aproximadamente em relação à vertical, no sentido montante (contra a corrente). Como checagem mental:
, que é exatamente a velocidade da corrente que calculamos, então a componente horizontal da natação cancela a corrente e ela vai sair exatamente em frente ao ponto de partida (apenas levando um pouco mais de tempo por ter componente vertical menor que
). Força aí — já já você domina esse tipo de problema!
Esse ângulo significa que ela deve apontar aproximadamente