Uma nadadora atravessa um rio, nadando a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à água. Quando nada em linha reta, em relação à água, chega num ponto a 49.1 m a jusante do ponto diretamente do outro lado do rio. O rio tem 84.1 m de largura. Em qual ângulo em relação à vertical a nadadora deveria dirigir-se para chegar ao ponto diretamente em frente ao seu ponto de partida?

Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!

\square

Passo 1

O enunciado pede: em qual ângulo, em relação à vertical, a nadadora deve dirigir-se para que chegue exatamente no ponto diretamente em frente ao seu ponto de partida?\n
Informações dadas (retiradas do enunciado):
\text{velocidade da nadadora em relação à água} = 1\\ \mathrm{m/s},çãàá
\text{deslocamento a jusante quando ela nada "em linha reta" em relação à água} = 49.1\\ \mathrm{m},çãàá
\text{largura do rio} = 84.1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a situação e o conceito de velocidade relativa (explicação didática):
\n
Quando dizemos “velocidade da nadadora em relação à água” estamos descrevendo a velocidade que a nadadora consegue em relação ao fluido. A velocidade observada em relação ao chão (ou às margens) é a soma vetorial da velocidade da nadadora relativa à água e da velocidade da água (corrente).\n
Em termos práticos, devemos decompor essas velocidades em componentes: uma componente perpendicular às margens (vou chamar de componente vertical, que atravessa o rio) e uma componente paralela às margens (horizontal, que dá o deslocamento a jusante ou a montante).\n
Para eliminar o desvio a jusante, a componente horizontal da velocidade da nadadora (apontando para montante) deve cancelar a velocidade da corrente (apontando para jusante).

Passo 3

Calcular a velocidade da corrente usando o caso em que ela nada “em linha reta” em relação à água (interpretado como ela apontando perpendicularmente às margens):\n
Se ela aponta perpendicularmente, a componente da sua velocidade que atravessa o rio é toda a sua velocidade de 1\\ \mathrm{m/s}. O tempo que leva para atravessar é
t=\frac{\text{largura do rio}}{\text{componente perpendicular da velocidade}}=\frac{84.1}{1}=84.1\\ \mathrm{s}.
Nesse tempo a corrente levou-a 49.1\\ \mathrm{m} a jusante, logo a velocidade da corrente é
v_{\text{corrente}}=\frac{49.1}{84.1}.
Para simplificar a escrita, podemos manter a fração e também calcular o valor decimal:
v_{\text{corrente}}=\frac{491}{841}\approx 0.583828\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Montar a equação para o ângulo que elimina o desvio (explicação didática sobre trigonometria aplicada):\n
Chame \theta o ângulo entre a direção que a nadadora aponta e a vertical, medido em direção a montante (ou seja, \theta é o ângulo “para cima/contra a corrente” a partir da vertical). Desenhando o vetor velocidade da nadadora em relação à água com magnitude 1\\ \mathrm{m/s}, suas componentes são:
\text{componente vertical (atravessamento)} = 1\cos\theta,
\text{componente horizontal (para montante)} = 1\sin\theta.
Para que o deslocamento a jusante seja zero, a componente horizontal para montante deve igualar a velocidade da corrente:
1\sin\theta = v_{\text{corrente}}.
Portanto
\sin\theta = v_{\text{corrente}}.

Passo 5

Resolver para \theta:\n
Substituindo o valor encontrado em \sin\theta = v_{\text{corrente}},
\sin\theta = \frac{491}{841}\approx 0.583828.
Logo
\theta = \arcsin\!\left(\frac{491}{841}\right).
Para obter o valor em graus, calculamos explicitamente. Primeiro calculamos \sqrt{1-\sin^2\theta} (usado se quisermos converter por meio de arctan) ou aplicamos diretamente a função arcsin; aqui faço a conversão por arctan para mostrar passo a passo:
\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-(0.583828)^2}\approx 0.811290.
Então
\theta = \arctan\!\left(\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\right)=\arctan\!\left(\frac{0.583828}{0.811290}\right)\approx \arctan(0.7197)\approx 0.6235\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta \approx 0.6235\cdot\frac{180}{\pi}\approx 35.72^\circ.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (didática e motivadora):\n
Esse ângulo significa que ela deve apontar aproximadamente 35.72^\circ em relação à vertical, no sentido montante (contra a corrente). Como checagem mental: \sin 35.72^\circ\approx 0.5838, que é exatamente a velocidade da corrente que calculamos, então a componente horizontal da natação cancela a corrente e ela vai sair exatamente em frente ao ponto de partida (apenas levando um pouco mais de tempo por ter componente vertical menor que 1\\ \mathrm{m/s}). Força aí — já já você domina esse tipo de problema!

Resposta

35.72^\circ (para montante, em relação à vertical)

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