Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional após serem preenchidos com chips semicondutores. Se um lote é composto por 150 cartões, e se a probabilidade de um cartão qualquer apresentar defeito é igual a 0.2, e 20 cartões são selecionados do lote aleatoriamente, e com reposição, para a realização do teste funcional, pede-se:
Determine o número esperado de cartões com defeito na amostra. (4)

Passo 1

Então, vamos entender o exercício de boa:
– Conteúdo: probabilidade e distribuição binomial.
– O que pedem? “Qual é o número esperado de cartões defeituosos na amostra de 20 cartões, sabendo que cada cartão, independentemente, tem 20 % de chance de estar com defeito e que a seleção é com reposição?”
– O que vamos precisar:
  1. Reconhecer que o número de defeitos na amostra segue uma distribuição binomial.
  2. Saber a fórmula de valor esperado para essa distribuição.

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
Seja o número de cartões com defeito na nossa amostra de 20.
Por que binomial? Porque temos:
  1. Número fixo de tentativas ( ).
  2. Cada tentativa (cada cartão testado) é “sucesso” (defeito) ou “fracasso” (não defeito).
  3. Probabilidade de sucesso é sempre a mesma ( ).
  4. As tentativas são independentes (por causa da reposição).
Logo, .

Passo 3

Teoria que vamos usar: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma binomial é dado por
E[X] = n cdot p
Isso sai direto da soma das probabilidades ponderadas, mas a fórmula é bem simples: multiplica-se o número de testes pela chance de sucesso em cada um.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
E[X] = n cdot p = 20 times 0.2 = 4
Pronto! Em média você espera encontrar 4 cartões defeituosos quando testar 20 cartões nesse cenário.

Resposta

O número esperado de cartões com defeito na amostra é 4.

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