Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional após serem preenchidos com chips semicondutores. Se um lote é composto por 150 cartões, e se a probabilidade de um cartão qualquer apresentar defeito é igual a 0.2, e 20 cartões são selecionados do lote aleatoriamente, e com reposição, para a realização do teste funcional, pede-se:
Determine o número esperado de cartões com defeito na amostra. (4)
Determine o número esperado de cartões com defeito na amostra. (4)
Passo 1
Então, vamos entender o exercício de boa:
– Conteúdo: probabilidade e distribuição binomial.
– O que pedem? “Qual é o número esperado de cartões defeituosos na amostra de 20 cartões, sabendo que cada cartão, independentemente, tem 20 % de chance de estar com defeito e que a seleção é com reposição?”
– O que vamos precisar:
– Conteúdo: probabilidade e distribuição binomial.
– O que pedem? “Qual é o número esperado de cartões defeituosos na amostra de 20 cartões, sabendo que cada cartão, independentemente, tem 20 % de chance de estar com defeito e que a seleção é com reposição?”
– O que vamos precisar:
- Reconhecer que o número de defeitos na amostra segue uma distribuição binomial.
- Saber a fórmula de valor esperado para essa distribuição.
Passo 2
Definindo a variável aleatória:
Seja o número de cartões com defeito na nossa amostra de 20.
Por que binomial? Porque temos:
Seja
Por que binomial? Porque temos:
- Número fixo de tentativas (
). - Cada tentativa (cada cartão testado) é “sucesso” (defeito) ou “fracasso” (não defeito).
- Probabilidade de sucesso é sempre a mesma (
). - As tentativas são independentes (por causa da reposição).
Logo,
.
Passo 3
Teoria que vamos usar: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma binomial é dado por
Isso sai direto da soma das probabilidades ponderadas, mas a fórmula é bem simples: multiplica-se o número de testes pela chance de sucesso em cada um.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Pronto! Em média você espera encontrar 4 cartões defeituosos quando testar 20 cartões nesse cenário.
Resposta
O número esperado de cartões com defeito na amostra é 4.