Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional após serem preenchidos com chips semicondutores. Se um lote é composto por 150 cartões, e se a probabilidade de um cartão qualquer apresentar defeito é igual a 0.2, e 20 cartões são selecionados do lote aleatoriamente, e com reposição, para a realização do teste funcional, pede-se:
Qual a probabilidade de a amostra conter no mínimo 7 cartões sem defeito? (0.9999982)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz assim: temos um lote com 150 cartões, cada cartão tem probabilidade de 0,2 de vir com defeito (logo 0,8 de não ter defeito). Aí a gente pega 20 cartões, um por vez, mas “com reposição” (ou seja, cada retirada não afeta as outras), e testa pra ver se está tudo ok. A pergunta é: qual a chance de, nessa amostra de 20, pelo menos 7 cartões saírem sem defeito?
Conteúdo: distribuição binomial. O que precisamos: entender independência, número de tentativas , probabilidade de sucesso (no caso, “sucesso” = cartão sem defeito), fórmula da binomial e uso do complemento.

Passo 2

Como cada seleção é com reposição, cada cartão testado “não sofre influência” dos anteriores – são experimentos independentes.
Definimos a variável aleatória
X = número de cartões sem defeito em 20 testes úõ
Aqui temos P(X = k) ;=; binom20k, (0,8)^k (0,2)^20-k tentativas e de sucesso (“sem defeito”). Para a distribuição binomial vale:
Isso significa: a probabilidade de ter exatamente cartões bons em 20 testes.

Passo 3

A gente quer “pelo menos 7 cartões sem defeito”, ou seja
P(X >= 7)
Em vez de somar de 7 até 20, é mais fácil usar o complemento:
P(X >= 7) ;=; 1 - P(X <= 6)
E
P(X <= 6) ;=; sumk=0^6 binom20k,(0,8)^k (0,2)^20-k
Você pode calcular cada termo numa calculadora científica ou software estatístico e somar tudo de a .

Passo 4

Fazendo essa conta (somando os termos de a ) dá um valor muito pequenininho para . Ao tirar , sobra um número muito próximo de 1.

Resposta

P(X >= 7) approx 0,9999982

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