O SAT (Scholastic Assessment Test) é um teste padronizado de modo a ter distribuição normal com média 500 e desvio padrão 100. Que porcentagem dos escores SAT está:
entre 300 e 700. 95,44%

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que os escores do SAT seguem uma distribuição normal com média μ = 500 e desvio padrão σ = 100. A pergunta é: qual a porcentagem de gente que tira entre 300 e 700 pontos?
Conteúdo: distribuição normal e padronização. Vamos usar a fórmula do escore-Z
Z = X - musigma
e depois a tabela ou a regra empírica (68-95-99,7).

Passo 2

Primeiro, entenda a distribuição normal: é aquela curva em “sino” descrita por média μ e desvio σ, e a probabilidade de X cair num intervalo é a área sob a curva. Pra calcular, a gente converte X em Z, que é uma normal padrão (média 0, desvio 1). Então:
Z1 = 300 - 500100 = -200100 = -2
Z2 = 700 - 500100 = 200100 = 2

Passo 3

Agora queremos
Pr(300 <= X <= 700) = Pr(-2 <= Z <= 2)
Na normal padrão, isso é
Phi(2) - Phi(-2),
onde é a função de distribuição acumulada.

Passo 4

Como a normal é simétrica, Phi(2) - Phi(-2) = Phi(2) - (1 - Phi(2)) = 2Phi(2) - 1. Então
2 times 0,9772 - 1 = 1,9544 = 95,44%
O valor de pelas tabelas é cerca de 0,9772. Logo
Ou, usando a regra empírica 68-95-99,7, sabemos que ±2σ captura 95,44% da curva.

Resposta

A porcentagem de escores entre 300 e 700 é aproximadamente 95,44%.

Exercícios relacionados