Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional após serem preenchidos com chips semicondutores. Se um lote é composto por 150 cartões, e se a probabilidade de um cartão qualquer apresentar defeito é igual a 0.2, e 20 cartões são selecionados do lote aleatoriamente, e com reposição, para a realização do teste funcional, pede-se:
Qual a probabilidade de no mínimo 2 cartões da amostra serem defeitosos? (0.9308247)

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um lote de 150 cartões, mas como a gente sempre repõe (com reposição) e seleciona 20 cartões, só importa que cada cartão tem probabilidade de ser defeituoso. Isso cai direto em Distribuição Binomial, que é o conteúdo que a gente precisa usar. Também vamos usar o complemento de probabilidade (1 menos a probabilidade do evento contrário).

Passo 2

Definimos a variável aleatória X sim Binomial(n=20,,p=0.2) = número de cartões defeituosos na amostra de 20.
Logo,
P(X = k) ;=; binom20k,(0.2)^k,(0.8)^20-k
A fórmula da probabilidade de exatamente defeitos é
Queremos .

Passo 3

Em vez de somar P(X >= 2) ;=; 1 - P(X < 2) ;=; 1 - l[P(X=0) + P(X=1)r] , usamos o complemento:

Passo 4

Calculando cada termo:
  1. Para P(X=0) = binom200(0.2)^0(0.8)^20 = (0.8)^20 :
P(X=1) = binom201(0.2)^1(0.8)^19 = 20 times 0.2 times (0.8)^19
  1. Para :

Passo 5

Agora, numéricas:
(0.8)^20 approx 0.011529, 20 times 0.2 times (0.8)^19 approx 0.057645
Então
P(X<2) = 0.011529 + 0.057645 = 0.069174,
e
P(X >= 2) = 1 - 0.069174 = 0.930826 approx 0.9308247

Resposta

A probabilidade de ter pelo menos 2 cartões defeituosos na amostra é aproximadamente 0.9308247.

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