Duas esferas isolantes têm raios de 0.3 cm e 0.5 cm , massas de 0.1 kg e 0.7 kg , e cargas uniformemente distribuídas de \mathrm{q} 1=-1,88 \mathrm{e} 06 C e q2=4,45e-06 C respectivamente. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por 1 m . Considerando que a distribuição de cargas das esferas permanecem inalteradas, com que rapidez a esfera de 0.1 kg estará se movendo quando as duas colidirem? Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e de a resposta em m/s.

Passo 1

O enunciado traz duas esferas isolantes de raios 0,003,m e 0,005,m, massas m_{1}=0,1,kg e m_{2}=0,7,kg, com cargas uniformes q_{1}=-1,88\times10^{-6},C e q_{2}=4,45\times10^{-6},C. Elas partem do repouso com distância inicial entre centros r_{i}=1,m e colidem quando a distância é r_{f}=a_{1}+a_{2}=0,008,m. Como as cargas permanecem uniformes, podemos tratá-las como pontuais para o cálculo da energia potencial eletrostática. Vamos usar:
U(r)=k\,\frac{q_{1}q_{2}}{r},
conservação da energia mecânica e conservação do momento linear.

Passo 2

Calculemos a variação de energia potencial eletrostática \Delta U=U(r_{i})-U(r_{f}). Primeiro o produto das cargas:
q_{1}q_{2}=(-1,88\times10^{-6})(4,45\times10^{-6})=-8,366\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}}.
Com k=9\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
U(r_{i})=k\,\frac{q_{1}q_{2}}{r_{i}} =\;9\times10^{9}\times\frac{-8,366\times10^{-12}}{1} =-0,075294\;\mathrm{J},
U(r_{f})=9\times10^{9}\times\frac{-8,366\times10^{-12}}{0,008} =-9,41175\;\mathrm{J}.
Logo,
\Delta U =U(r_{i})-U(r_{f}) =(-0,075294)-(-9,41175) =9,336456\;\mathrm{J}.

Passo 3

Como partem do repouso, toda essa variação de energia potencial vira energia cinética das duas esferas. Pela conservação do momento inicial nulo:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad v_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\,v_{1}.
As energias cinéticas são
K_{1}=\frac12\,m_{1}v_{1}^{2}, \quad K_{2}=\frac12\,m_{2}v_{2}^{2} =\frac12\,m_{2}\Bigl(\frac{m_{1}}{m_{2}}v_{1}\Bigr)^{2} =\frac{m_{1}^{2}}{2\,m_{2}}\,v_{1}^{2}.
Portanto a energia cinética total é
K_{\rm tot} =K_{1}+K_{2} =\frac12\,v_{1}^{2}\Bigl(m_{1}+\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}\Bigr) =\frac{m_{1}}{2}\Bigl(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\Bigr)v_{1}^{2}.

Passo 4

Igualando K_{\rm tot}=\Delta U,
\frac{m_{1}}{2}\Bigl(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\Bigr)v_{1}^{2} =\Delta U \quad\Longrightarrow\quad v_{1}^{2} =\frac{2\,\Delta U}{m_{1}\bigl(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\bigr)}.
Substituindo \Delta U=9,336456,J, m_{1}=0,1,kg, m_{2}=0,7,kg,
1+\frac{m_{1}}{m_{2}} =1+\frac{0,1}{0,7} =1,142857,
v_{1}^{2} =\frac{2\times9,336456}{0,1\times1,142857} \approx163,388 \quad\Rightarrow\quad v_{1}\approx12,78\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A esfera de 0{,}1 kg estará se movendo com aproximadamente 12{,}8,m/s quando as duas colidirem.

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