Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio \mathrm{r}=3,58 \mathrm{e}-02 \mathrm{~m} está carregada com densidade linear dada por \mathrm{x}=1,19 \mathrm{e}-05 \mathrm{C} / \mathrm{m} distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de \mathrm{d}=5,15 \mathrm{e}-02 \mathrm{~m} acima de sua superfície?

Passo 1

O problema pede a leitura de um voltímetro ligado entre a superfície de uma casca cilíndrica carregada e um ponto situado a uma distância radial acima dessa superfície. Dados fornecidos:
\;r = 3,58\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} (raio da casca),
\;\lambda = 1,19\times 10^{-5}\\ \mathrm{C/m} (densidade linear de carga, uniformemente sobre a superfície),
\;d = 5,15\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} (distância acima da superfície até o ponto onde o voltímetro é ligado).
O que se quer: a diferença de potencial entre a superfície (raio \;r) e o ponto a distância radial \;r+d do eixo do cilindro (ou seja, a distância \;d acima da superfície).

Passo 2

Conceito físico e estratégia (aula rápida e prática):
  • Para um cilindro muito longo com carga distribuída uniformemente na superfície, usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico fora da casca. A ideia é escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio \;s e comprimento L.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total encerrada dividida por \varepsilon_0:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui, para \;s>r (fora da casca), o campo é radial e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e as tampas não contribuem ao fluxo. Então:
E(s)\cdot (2\pi s L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0},
onde \lambda L é a carga total encerrada (densidade linear \lambda vezes comprimento L).
  • Cancelando L e isolando E(s) obtemos a expressão do campo fora da casca:
E(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,s}.
  • Observação didática: dentro da casca (para s<r) o campo é zero porque não há carga interior ao cilindro gaussiano; mas não precisamos disso aqui porque o ponto está fora da superfície.

Passo 3

Relação entre campo e diferença de potencial (aula curta):
  • O campo radial e a variação do potencial estão relacionados por \;dV = -\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}. No caso radial, \;dV = -E(s)\,ds.
  • A diferença de potencial entre a superfície ( s=r) e o ponto externo ( s=r+d) é
V(r)-V(r+d) = -\int_{r}^{\,r+d} E(s)\,ds.
  • Substituindo E(s)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s} obtemos
V(r)-V(r+d) = -\int_{r}^{\,r+d} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\,ds.
  • Calculando a integral (a integral de 1/s é \ln s):
V(r)-V(r+d) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\big[\ln s\big]_{r}^{\,r+d} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\big(\ln(r+d)-\ln r\big).
  • Simplificando com propriedades dos logaritmos:
V(r)-V(r+d) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r+d}{r}\right).
  • Troquei o sinal para obter uma forma positiva expressando que o potencial da superfície é maior (para \lambda>0). Usando a identidade -\ln(a/b)=\ln(b/a) obtemos a forma final conveniente:
V(r)-V(r+d) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r+d}{r}\right).
  • Interpretação: para \lambda>0 (carga positiva) a superfície tem potencial maior que um ponto mais afastado; a diferença de potencial é dada pela expressão acima.

Passo 4

Substituição numérica passo a passo:
  • Primeiro calcule \;r+d:
r+d = 3,58\times 10^{-2} + 5,15\times 10^{-2} = 8,73\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule a razão e o logaritmo natural:
\frac{r+d}{r} = \frac{8,73\times 10^{-2}}{3,58\times 10^{-2}} \approx 2,437\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{r+d}{r}\right)\approx 0,8903.
  • Constante \varepsilon_0: use \;\varepsilon_0 = 8,854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calcule o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}:
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} = \frac{1,19\times 10^{-5}}{2\pi\,(8,854187817\times 10^{-12})} \approx 2,1384\times 10^{5}\\ \mathrm{V}.
  • Finalmente a diferença de potencial:
V(r)-V(r+d) \approx \left(2,1384\times 10^{5}\right)\times 0,8903 \approx 1,90\times 10^{5}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida:
  • O sinal positivo indica que a superfície está mais positiva do que o ponto externo, como esperado para \lambda>0.
  • A ordem de grandeza (centenas de kV) é plausível para uma linha/casca infinitamente longa com essa densidade linear de carga; lembre-se que potencial de uma linha carregada diverge logaritmicamente com a distância de referência, então diferenças de potencial podem ser grandes mesmo para distâncias moderadas.

Resposta

1,90\times 10^{5}\\ \mathrm{V}

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