Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio
está carregada com densidade linear dada por
distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de
acima de sua superfície?
Passo 1
O problema pede a leitura de um voltímetro ligado entre a superfície de uma casca cilíndrica carregada e um ponto situado a uma distância radial acima dessa superfície. Dados fornecidos:
(raio da casca),
(densidade linear de carga, uniformemente sobre a superfície),
(distância acima da superfície até o ponto onde o voltímetro é ligado).
O que se quer: a diferença de potencial entre a superfície (raio ) e o ponto a distância radial
do eixo do cilindro (ou seja, a distância
acima da superfície).
O que se quer: a diferença de potencial entre a superfície (raio
Passo 2
Conceito físico e estratégia (aula rápida e prática):
- Para um cilindro muito longo com carga distribuída uniformemente na superfície, usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico fora da casca. A ideia é escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
e comprimento . - A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total encerrada dividida por
:
- Aqui, para
(fora da casca), o campo é radial e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e as tampas não contribuem ao fluxo. Então:
onde
é a carga total encerrada (densidade linear
vezes comprimento
).
- Cancelando
e isolando obtemos a expressão do campo fora da casca:
- Observação didática: dentro da casca (para
) o campo é zero porque não há carga interior ao cilindro gaussiano; mas não precisamos disso aqui porque o ponto está fora da superfície.
Passo 3
Relação entre campo e diferença de potencial (aula curta):
- O campo radial e a variação do potencial estão relacionados por
. No caso radial, . - A diferença de potencial entre a superfície (
) e o ponto externo ( ) é
- Substituindo
obtemos
- Calculando a integral (a integral de
é ):
- Simplificando com propriedades dos logaritmos:
- Troquei o sinal para obter uma forma positiva expressando que o potencial da superfície é maior (para
). Usando a identidade obtemos a forma final conveniente:
- Interpretação: para
(carga positiva) a superfície tem potencial maior que um ponto mais afastado; a diferença de potencial é dada pela expressão acima.
Passo 4
Substituição numérica passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Calcule a razão e o logaritmo natural:
- Constante
: use . - Calcule o fator
:
- Finalmente a diferença de potencial:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
- O sinal positivo indica que a superfície está mais positiva do que o ponto externo, como esperado para
. - A ordem de grandeza (centenas de kV) é plausível para uma linha/casca infinitamente longa com essa densidade linear de carga; lembre-se que potencial de uma linha carregada diverge logaritmicamente com a distância de referência, então diferenças de potencial podem ser grandes mesmo para distâncias moderadas.