Duas esferas isolantes têm raios de 0.3 cm e 0.5 cm , massas de 0.1 kg e 0.7 kg , e cargas uniformemente distribuídas de \mathrm{q} 1=-1,90 \mathrm{e} 06 C e q2=1,91e-06 C respectivamente. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por 1 m . Considerando que a distribuição de cargas das esferas permanecem inalteradas, com que rapidez a esfera de 0.1 kg estará se movendo quando as duas colidirem? Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} e de a resposta em \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Raio da esfera 1: 0,3\\ \mathrm{cm}.
  • Raio da esfera 2: 0,5\\ \mathrm{cm}.
  • Massa da esfera 1: m_1=0,1\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da esfera 2: m_2=0,7\\ \mathrm{kg}.
  • Carga da esfera 1: q_1=-1,90\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Carga da esfera 2: q_2=1,91\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Separação inicial entre centros: r_0=1\\ \mathrm{m}.
  • Constante eletrostática: k=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
O que é pedido: com que rapidez (velocidade em \mathrm{m/s}) a esfera de massa 0,1\\ \mathrm{kg} estará se movendo no instante da colisão entre as superfícies das esferas.

Passo 2

Interpretando a situação física e definindo a distância de colisão:
  • Como as esferas são isolantes com carga uniformemente distribuída e não se tocam até o momento da colisão, o campo e a energia potencial entre elas, enquanto não houver sobreposição, são iguais aos de duas cargas pontuais localizadas nos centros das esferas. (Explicação rápida: pela simetria esférica e uso da lei de Gauss, o campo fora de uma esfera uniformemente carregada é como se toda carga estivesse concentrada no centro.)
  • A colisão entre superfícies ocorre quando a distância entre centros r for igual à soma dos raios:
r_f = r_{1}+r_{2}.
  • Converto os raios para metros:
r_{1}=0,3\\ \mathrm{cm}=0,003\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m},
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r_f = 0,003+0,005=0,008\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Princípio de conservação de energia (explicação didática):
  • A energia mecânica total (energia cinética + energia potencial eletrostática) do sistema é conservada, porque não há forças externas realizando trabalho (as forças são internas entre as esferas) e desprezamos outras perdas.
  • A energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes separadas por r é
U(r)=\displaystyle k\frac{q_1 q_2}{r},
onde k é a constante e q_1,q_2 as cargas. Aqui q_1 q_2 pode ser negativo (atração).
  • Inicialmente as esferas estão em repouso, então K_0=0 e E_0=U(r_0). No momento da colisão a energia cinética total K mais a energia potencial U(r_f) somam E_0. Assim:
K = U(r_0)-U(r_f)=k q_1 q_2\left(\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{r_f}\right).
  • Observação de sinal: aqui q_1 q_2<0 e \dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{r_f}<0 (porque r_f<r_0), de modo que o produto dá K>0, como deve ser.

Passo 4

Conservação do momento linear (explicação didática para relacionar as velocidades):
  • Como não há força externa, o momento linear total é conservado. Inicialmente o momento é zero (repouso), então ao longo do movimento:
m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \vec{0}.
  • Tomando magnitudes e lembrando que as velocidades apontam em sentidos opostos ao aproximarem-se, obtemos:
m_1 v_1 = m_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2=\dfrac{m_1}{m_2}\,v_1.
  • Assim conseguimos escrever a energia cinética total somente em função de v_1:
K=\dfrac{1}{2}m_1 v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2 v_2^2 =\dfrac{1}{2}m_1 v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_1}{m_2}v_1\right)^2.

Passo 5

Algebra para isolar v_1 (mostrar passo a passo):
  • Simplificando a expressão acima:
K=\dfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_2} v_1^2 =\dfrac{1}{2}v_1^2\left(m_1+\dfrac{m_1^2}{m_2}\right).
  • Coloco em evidência m_1:
K=\dfrac{1}{2}v_1^2 m_1\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right) =\dfrac{1}{2}v_1^2 \dfrac{m_1(m_1+m_2)}{m_2}.
  • Isolando v_1^2:
v_1^2 = \dfrac{2K\,m_2}{m_1(m_1+m_2)}.
  • Então
v_1 = \sqrt{\dfrac{2K\,m_2}{m_1(m_1+m_2)}}.

Passo 6

Calcular numericamente K passo a passo:
  • Produto das cargas:
q_1 q_2 = (-1,90\times10^{-6})(1,91\times10^{-6}) = -3,629\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Diferença de inversos das distâncias:
\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{r_f}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{0,008}=1-125=-124\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Logo a energia liberada em cinética é
K = k q_1 q_2\left(\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{r_f}\right) = 9\times10^{9}\times(-3,629\times10^{-12})\times(-124).
  • Faço as multiplicações em etapas:
(-3,629\times10^{-12})\times(-124)=3,629\times124\times10^{-12}=449,996\times10^{-12}=4,49996\times10^{-10}.
K = 9\times10^{9}\times 4,49996\times10^{-10}=4,049964\\ \mathrm{J}.
(Aproximação: K\approx4,05\\ \mathrm{J}.)

Passo 7

Substituir K na fórmula de v_1 e calcular:
  • Usando
v_1 = \sqrt{\dfrac{2K\,m_2}{m_1(m_1+m_2)}},
substituo K\approx4,049964\\ \mathrm{J}, m_1=0,1\\ \mathrm{kg}, m_2=0,7\\ \mathrm{kg}, e m_1+m_2=0,8\\ \mathrm{kg}:
v_1 = \sqrt{\dfrac{2\times 4,049964 \times 0,7}{0,1\times 0,8}}.
  • Calculo interno:
2\times 4,049964 = 8,099928,
8,099928\times0,7 = 5,6699496,
0,1\times0,8 = 0,08,
v_1^2 = \dfrac{5,6699496}{0,08}=70,87437,
v_1=\sqrt{70,87437}\approx 8,4187\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
v_1\approx 8,42\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

8,42\\ \mathrm{m/s}

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