Duas esferas isolantes têm raios de 0.3 cm e 0.5 cm , massas de 0.1 kg e 0.7 kg , e cargas uniformemente distribuídas de
06 C e q2=1,91e-06 C respectivamente. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por 1 m . Considerando que a distribuição de cargas das esferas permanecem inalteradas, com que rapidez a esfera de 0.1 kg estará se movendo quando as duas colidirem? Use
e de a resposta em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Raio da esfera 1:
. - Raio da esfera 2:
. - Massa da esfera 1:
. - Massa da esfera 2:
. - Carga da esfera 1:
. - Carga da esfera 2:
. - Separação inicial entre centros:
. - Constante eletrostática:
.
O que é pedido: com que rapidez (velocidade em
) a esfera de massa
estará se movendo no instante da colisão entre as superfícies das esferas.
Passo 2
Interpretando a situação física e definindo a distância de colisão:
- Como as esferas são isolantes com carga uniformemente distribuída e não se tocam até o momento da colisão, o campo e a energia potencial entre elas, enquanto não houver sobreposição, são iguais aos de duas cargas pontuais localizadas nos centros das esferas. (Explicação rápida: pela simetria esférica e uso da lei de Gauss, o campo fora de uma esfera uniformemente carregada é como se toda carga estivesse concentrada no centro.)
- A colisão entre superfícies ocorre quando a distância entre centros
for igual à soma dos raios:
- Converto os raios para metros:
logo
Passo 3
Princípio de conservação de energia (explicação didática):
- A energia mecânica total (energia cinética + energia potencial eletrostática) do sistema é conservada, porque não há forças externas realizando trabalho (as forças são internas entre as esferas) e desprezamos outras perdas.
- A energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes separadas por
é
onde
é a constante e
as cargas. Aqui
pode ser negativo (atração).
- Inicialmente as esferas estão em repouso, então
e . No momento da colisão a energia cinética total mais a energia potencial somam . Assim:
- Observação de sinal: aqui
e (porque ), de modo que o produto dá , como deve ser.
Passo 4
Conservação do momento linear (explicação didática para relacionar as velocidades):
- Como não há força externa, o momento linear total é conservado. Inicialmente o momento é zero (repouso), então ao longo do movimento:
- Tomando magnitudes e lembrando que as velocidades apontam em sentidos opostos ao aproximarem-se, obtemos:
- Assim conseguimos escrever a energia cinética total somente em função de
:
Passo 5
Algebra para isolar
(mostrar passo a passo):
- Simplificando a expressão acima:
- Coloco em evidência
:
- Isolando
:
- Então
Passo 6
Calcular numericamente
passo a passo:
- Produto das cargas:
- Diferença de inversos das distâncias:
- Logo a energia liberada em cinética é
- Faço as multiplicações em etapas:
(Aproximação:
.)
Passo 7
Substituir
na fórmula de
e calcular:
- Usando
substituo
,
,
, e
:
- Calculo interno:
- Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):