Em um cristal iônico cúbico, cada célula de tal cristal pode ser modelada por oito cargas, quatro positivas com carga
e quatro negativas com carga
, arranjadas nos vértices de um cubo com lado
. As cargas são arranjadas de maneira alternada (i.e. se em vértice temos uma carga
, nos seus vértices vizinhos teremos carga -
). Calcule a energia potencial U desse arranjo em Joules. Use
.
Passo 1
O enunciado diz: temos uma célula cúbica com oito cargas puntiformes nos vértices do cubo. Quatro cargas são positivas
e quatro são negativas
. O lado do cubo vale
. As cargas estão em disposição alternada (vértices vizinhos têm sinais opostos). Pede-se a energia potencial elétrica
desse arranjo (em joules). A constante é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. -
. - As distâncias possíveis entre pares de vértices do cubo são: aresta
, diagonal de face e diagonal do cubo . - A disposição alternada implica que vértices ligados por aresta têm sinais opostos; vértices separados por diagonal de face têm mesmo sinal; o vértice oposto (diagonal do cubo) tem sinal oposto.
Passo 2
Entendendo como calcular a energia potencial do sistema: a energia potencial elétrica total de um conjunto de cargas puntuais é a soma das energias de interação de cada par de cargas, tomando cada par uma única vez. A fórmula para a energia entre duas cargas
e
separadas por
é
Para o sistema todo somamos sobre todos os pares únicos:
Aqui cada produto
é
porque todas as magnitudes são
. Vou usar essa soma por pares únicos para não duplicar interações.
Pequena aula sobre o porquê da fórmula: Coulomb dá a força entre cargas; a energia associada a trazer uma carga de infinito até a posição é a integral da força; o resultado para pontos é
. Se
a interação é repulsiva e energia é positiva; se
a interação é atrativa e energia é negativa. Aqui vamos somar todas.
Passo 3
Agora vamos contar quantos pares existem de cada tipo (distância e sinal do produto). Número total de pares entre 8 vértices é
.
Para um vértice fixo as separações para os outros 7 vértices são:
- 3 vértices à distância de aresta
, - 3 vértices à distância de diagonal de face
, - 1 vértice à distância de diagonal do cubo
.
Pelo arranjo alternado (cores par/ímpar nos vértices) temos:
- pares separados por aresta: sinais opostos
produto . - pares separados por diagonal de face: mesmo sinal
produto . - pares separados por diagonal do cubo: sinais opostos
produto .
Contagem total (não duplicando pares): multiplicamos por 8 (vértices) e dividimos por 2:
- pares a
: pares, produto . - pares a
: pares, produto . - pares a
: pares, produto .
Verificação rápida:
pares totais; pares de sinais opostos
; pares de mesmo sinal
. Isso bate com a ideia de 4 positivas e 4 negativas (pares entre cargas opostas
; pares entre mesmas
).
Passo 4
Agora escrevemos a soma das contribuições por distância. Usando que cada par com produto
contribui
e com produto
contribui
, temos:
Aplicando as contagens e distâncias específicas:
- same-sign pairs: 12 pares com
soma . - opposite-sign pairs: 12 pares com
e 4 pares com soma .
Portanto:
Fatorando
:
Passo 5
Vamos calcular numericamente cada termo (mostrando contas passo a passo):
Primeiro
:
Constante combinada:
Agora dividimos por
:
(Usei divisão
e
.)
Agora o termo entre colchetes:
Somando conforme a fórmula:
Passo 6
Multiplicando tudo:
Produto numérico:
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Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas compatíveis com dados):