Em um cristal iônico cúbico, cada célula de tal cristal pode ser modelada por oito cargas, quatro positivas com carga \mathrm{q}=1.6 \mathrm{e}-19 \mathrm{C} e quatro negativas com carga -\mathrm{q}=-1.6 \mathrm{e}-19 \mathrm{C}, arranjadas nos vértices de um cubo com lado \mathrm{d}=1,19 \mathrm{e}-10 \mathrm{~m}. As cargas são arranjadas de maneira alternada (i.e. se em vértice temos uma carga q, nos seus vértices vizinhos teremos carga - q ). Calcule a energia potencial U desse arranjo em Joules. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.

Passo 1

O enunciado diz: temos uma célula cúbica com oito cargas puntiformes nos vértices do cubo. Quatro cargas são positivas q=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} e quatro são negativas -q=-1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}. O lado do cubo vale d=1,19\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}. As cargas estão em disposição alternada (vértices vizinhos têm sinais opostos). Pede-se a energia potencial elétrica U desse arranjo (em joules). A constante é k=9\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • q=1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • d=1,19\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • k=9\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • As distâncias possíveis entre pares de vértices do cubo são: aresta d, diagonal de face d\sqrt{2} e diagonal do cubo d\sqrt{3}.
  • A disposição alternada implica que vértices ligados por aresta têm sinais opostos; vértices separados por diagonal de face têm mesmo sinal; o vértice oposto (diagonal do cubo) tem sinal oposto.

Passo 2

Entendendo como calcular a energia potencial do sistema: a energia potencial elétrica total de um conjunto de cargas puntuais é a soma das energias de interação de cada par de cargas, tomando cada par uma única vez. A fórmula para a energia entre duas cargas q_i e q_j separadas por r_{ij} é
U_{ij}=k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Para o sistema todo somamos sobre todos os pares únicos:
U=\sum_{i<j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Aqui cada produto q_i q_j é \pm q^2 porque todas as magnitudes são q. Vou usar essa soma por pares únicos para não duplicar interações.
Pequena aula sobre o porquê da fórmula: Coulomb dá a força entre cargas; a energia associada a trazer uma carga de infinito até a posição é a integral da força; o resultado para pontos é k q_i q_j/r. Se q_i q_j>0 a interação é repulsiva e energia é positiva; se q_i q_j<0 a interação é atrativa e energia é negativa. Aqui vamos somar todas.

Passo 3

Agora vamos contar quantos pares existem de cada tipo (distância e sinal do produto). Número total de pares entre 8 vértices é \binom{8}{2}=28.
Para um vértice fixo as separações para os outros 7 vértices são:
  • 3 vértices à distância de aresta d,
  • 3 vértices à distância de diagonal de face d\sqrt{2},
  • 1 vértice à distância de diagonal do cubo d\sqrt{3}.
Pelo arranjo alternado (cores par/ímpar nos vértices) temos:
  • pares separados por aresta: sinais opostos \Rightarrow produto q_i q_j=-q^2.
  • pares separados por diagonal de face: mesmo sinal \Rightarrow produto q_i q_j=+q^2.
  • pares separados por diagonal do cubo: sinais opostos \Rightarrow produto q_i q_j=-q^2.
Contagem total (não duplicando pares): multiplicamos por 8 (vértices) e dividimos por 2:
  • pares a d: \dfrac{8\cdot 3}{2}=12 pares, produto -q^2.
  • pares a d\sqrt{2}: \dfrac{8\cdot 3}{2}=12 pares, produto +q^2.
  • pares a d\sqrt{3}: \dfrac{8\cdot 1}{2}=4 pares, produto -q^2.
Verificação rápida: 12+12+4=28 pares totais; pares de sinais opostos =12+4=16; pares de mesmo sinal =12. Isso bate com a ideia de 4 positivas e 4 negativas (pares entre cargas opostas 4\times 4=16; pares entre mesmas \binom{4}{2}+\binom{4}{2}=6+6=12).

Passo 4

Agora escrevemos a soma das contribuições por distância. Usando que cada par com produto +q^2 contribui kq^2/r e com produto -q^2 contribui -kq^2/r, temos:
U = k q^2\left(\frac{\text{(número de pares same)}}{r_{\text{same}}} - \sum_{\text{opp pairs}}\frac{1}{r_{\text{opp}}}\right).ú
Aplicando as contagens e distâncias específicas:
  • same-sign pairs: 12 pares com r=d\sqrt{2} \Rightarrow soma 12/(d\sqrt{2}).
  • opposite-sign pairs: 12 pares com r=d e 4 pares com r=d\sqrt{3} \Rightarrow soma 12/d + 4/(d\sqrt{3}).
Portanto:
U = k q^2\left(\frac{12}{d\sqrt{2}} - \left(\frac{12}{d}+\frac{4}{d\sqrt{3}}\right)\right).
Fatorando 1/d:
U = \frac{k q^2}{d}\left(\frac{12}{\sqrt{2}} - 12 - \frac{4}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Vamos calcular numericamente cada termo (mostrando contas passo a passo):
Primeiro q^2:
q^2 = \left(1,6\times 10^{-19}\right)^2 = 2,56\times 10^{-38}\\ \mathrm{C}^2.
Constante combinada:
k q^2 = 9\times 10^{9}\times 2,56\times 10^{-38} = 2,304\times 10^{-28}\\ \mathrm{N\,m^{2}}.
Agora dividimos por d:
\frac{k q^2}{d}=\frac{2,304\times 10^{-28}}{1,19\times 10^{-10}} =1,9352941176\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
(Usei divisão 2,304/1,19\approx 1,9352941176 e 10^{-28}/10^{-10}=10^{-18}.)
Agora o termo entre colchetes:
\frac{12}{\sqrt{2}} = 12\times\frac{1}{\sqrt{2}} = 12\times 0,70710678\approx 8,48528137,
12 = 12,
\frac{4}{\sqrt{3}} = 4\times\frac{1}{\sqrt{3}} = 4\times 0,57735027\approx 2,30940108.
Somando conforme a fórmula:
\frac{12}{\sqrt{2}} - 12 - \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 8,48528137 - 12 - 2,30940108 = -5,82411971.

Passo 6

Multiplicando tudo:
U = \left(1,9352941176\times 10^{-18}\right)\times\left(-5,82411971\right).
Produto numérico:
1,9352941176\times 5,82411971 \approx 11,2713829,
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U \approx -1,12713829\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas compatíveis com dados):
U \approx -1,13\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Resposta

-1,13\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}

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