Um elétron se desloca paralelamente ao eixo x e tem velocidade inicial de v 0=5,03 \mathrm{e}+06 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na origem. Sua velocidade é reduzida para \mathrm{v} 1=1,01 \mathrm{e}+05 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ponto \mathrm{x}=2 \mathrm{~cm}.Calcule a diferença de potencial elétrico entre a origem e esse ponto. Use que a carga do eletron é e=-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e massa m=9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial elétrico entre a origem e o ponto x=2\\ \mathrm{cm}. Vou calcular
\Delta V = V(2\\ \mathrm{cm}) - V(0).
Dados fornecidos:
v_0 = 5,03\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s},
v_1 = 1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s},
q = e = -1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C},
m = 9\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
A posição x=2\\ \mathrm{cm} é apenas para indicar onde a velocidade é v_1; a diferença de potencial não depende da distância em si, mas das velocidades e da carga/energia.

Passo 2

Vamos relacionar energia cinética e energia potencial elétrica. Conceitos básicos (explicando devagar como pediste):
  • Energia cinética de uma partícula é \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Aqui m é a massa e v a velocidade.
  • Energia potencial elétrica de uma carga q num potencial V é \displaystyle U=qV. Então a variação de energia potencial ao ir de um ponto a outro é \displaystyle \Delta U = q\,\Delta V, onde \Delta V=V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}.
  • Teorema do trabalho-energia para a força elétrica (conservativa): o trabalho realizado pela força elétrica é igual à variação da energia cinética, W_{\text{el}}=\Delta K, e como a força é conservativa temos W_{\text{el}}=-\Delta U. Portanto
\Delta K = -\Delta U = -q\,\Delta V.
Isolando \Delta V obtemos a fórmula que vamos usar:
\Delta V = -\frac{\Delta K}{q}.

Passo 3

Expresse \Delta K em termos das velocidades inicial e final. Como \displaystyle K=\tfrac{1}{2}mv^{2},
\Delta K = K_1 - K_0 = \tfrac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2).
Substituindo em \Delta V:
\Delta V = -\frac{\tfrac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2)}{q} = \frac{\tfrac{1}{2}m(v_0^2 - v_1^2)}{q}.
Essa forma mostra bem que, se v_0>v_1 (o elétron desacelera), o numerador é positivo; o sinal final dependerá do sinal de q.

Passo 4

Agora vou calcular numericamente passo a passo (faço as contas de forma que dê para checar na prova sem calculadora, mantendo ordem de grandeza e multiplicações):
Calcule as velocidades ao quadrado:
v_0^2 = (5,03\times 10^{6})^2 = 2,53009\times 10^{13}\\ \mathrm{m^2/s^2},
v_1^2 = (1,01\times 10^{5})^2 = 1,0201\times 10^{10}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Diferença:
v_0^2 - v_1^2 = 2,53009\times 10^{13} - 1,0201\times 10^{10} = 2,5290699\times 10^{13}.
Metade da massa:
\tfrac{1}{2}m = \tfrac{1}{2}\cdot 9\times 10^{-31} = 4,5\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Produto para obter a energia (numerador da expressão de \Delta V):
\tfrac{1}{2}m (v_0^2 - v_1^2) = 4,5\times 10^{-31}\times 2,5290699\times 10^{13} = 1,138081455\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Agora divido pelo q. Lembre que q=-1,6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim
\Delta V = \frac{1,138081455\times 10^{-17}}{-1,6\times 10^{-19}} = -71,13009094\\ \mathrm{V}.
Arredondando com sig. figs. compatíveis com os dados, fica aproximadamente -71{,}1\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação física curta (útil para a prova): o resultado negativo significa que V(2\\ \mathrm{cm})<V(0); para a carga negativa do elétron isso corresponde a um aumento da energia potencial elétrica (porque U=qV e q<0), que é exatamente o que ocorre quando o elétron perde energia cinética ao se deslocar — a energia cinética perdida virou energia potencial.

Resposta

-71{,}1\\ \mathrm{V}

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