Uma casca cilíndrica, de raio interno a e raio externo b, é percorrida por uma corrente i0, uniformemente distribuída ao longo de toda casca. Mostre que no centro da cavidade o campo é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca cilíndrica com raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Nessa casca, uma corrente elétrica $ i_0 $ está distribuída de forma uniforme por toda a casca. A pergunta é para mostrar que, no centro da cavidade dessa casca, o campo magnético é nulo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetismo, especificamente a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Vamos precisar entender simetria cilíndrica e como a corrente distribuída afeta o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a casca cilíndrica. Imagine um tubo oco, onde a corrente elétrica está circulando nas superfícies internas e externas desse tubo. Como a corrente está distribuída uniformemente, isso significa que a densidade de corrente ($ J $) é constante ao longo da casca.
A densidade de corrente $ J $ é dada por:
J
onde $ L $ é o comprimento da casca. Isso nos ajuda a entender como a corrente está espalhada pela casca.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético no centro da cavidade. A Lei de Ampère diz que a integral do campo magnético $ \vec{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética $ \mu_0 $ vezes a corrente total $ I_{enc} $ que passa através desse caminho:
B
No centro da cavidade, vamos escolher um caminho circular de raio $ r = 0 $, pois estamos interessados no ponto central.

Passo 4

No centro da cavidade, devido à simetria cilíndrica, esperamos que o campo magnético seja o mesmo em todos os pontos do caminho circular imaginário que passamos. Porém, como estamos no centro, o raio $ r = 0 $, então o comprimento do caminho $ L $ também tende a zero.
Aplicando isso na integral de Ampère:
r = 0
Isso implica que:
L

Passo 5

A partir dessa equação, $ 0 = \mu_0 I_{enc} $, concluímos que a corrente encerrada pelo caminho é zero. Mas sabemos que a corrente está distribuída na casca, e no centro da cavidade não há corrente passando pelo caminho escolhido.
Como não há corrente dentro desse caminho no centro, a Lei de Ampère nos diz que o campo magnético nesse ponto deve ser zero.

Resposta

Portanto, demonstramos que no centro da cavidade da casca cilíndrica, o campo magnético é nulo.

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