Uma casca cilíndrica de raio
possui densidade superficial de carga
. Mostre que o potencial dentro e fora da casca é dado por
Passo 1
O enunciado dá uma casca cilíndrica infinitamente longa de raio
com densidade superficial de carga dependente do ângulo azimutal:
O que se pede: encontrar o potencial eletrostático
em todas as regiões do espaço, isto é:
- para
(dentro da casca); - para
(fora da casca).
Informações relevantes fornecidas:
- A distribuição depende apenas de
e é proporcional a . - A casca é infinitamente longa (invariância na direção
), logo não depende de . - Não há cargas volumétricas nas regiões
; portanto, em cada região valem as equações de Laplace.
Passo 2
Conseqüências da simetria e forma geral das soluções.
- Por invariância em
, tratamos o problema em coordenadas cilíndricas no plano . O potencial satisfaz a equação de Laplace bidimensional (sem termos em ). - Como a carga varia como
, espera-se que o potencial tenha a mesma dependência angular (índice azimutal ). Em termos de séries de Fourier em , apenas o harmônico aparece (não há termos nem harmônicos de ordem diferente). - Para um harmônico azimutal
a solução geral da equação de Laplace (no plano, sem dependência em ) tem a forma
ou com
caso haja componente senoidal. Para
o termo é diferente (constante e logaritmo), mas aqui não precisamos dele porque a carga é pura
(média nula).
- Assim, para o nosso caso (
) a forma geral em cada região é
com constantes
que podem ser distintas dentro e fora da casca.
Passo 3
Escolhendo as formas físicas dentro e fora da casca.
- Dentro (
) o potencial deve ser finito em . O termo seria singular em , logo seu coeficiente deve ser zero na região interna. Portanto para a forma é
onde
é uma constante a determinar.
- Fora (
) o potencial deve se anular (ou pelo menos não divergir) quando . O termo cresce com , então seu coeficiente deve ser zero na região externa. Assim para
onde
é outra constante a determinar.
Passo 4
Condições de contorno na superfície
.
Duas condições aplicáveis numa superfície carregada:
Duas condições aplicáveis numa superfície carregada:
- Continuidade do potencial eletrostático através da casca (não há salto finito em
por ser apenas uma carga superficial infinitesimalmente fina):
- Salto no componente normal do campo elétrico relacionado à densidade superficial
. A condição baseada na lei de Gauss para um elemento pillbox atravessando a casca dá:
onde
é a componente radial do campo elétrico e o versor normal aponta do interior para o exterior (isto é, no sentido positivo de
). Como
temos
. Substituindo:
É conveniente escrever essa condição avaliada em
.
Passo 5
Aplicando a continuidade do potencial em
.
- Usando as formas escolhidas:
- Igualando:
Como isso vale para todo
, cancela-se
e obtemos a relação entre constantes:
Passo 6
Aplicando a condição do salto do campo (lei de Gauss).
- Primeiro calcule as derivadas radiais:
- Avaliando em
e substituindo na condição de salto:
Simplificando os sinais:
onde usei que
(informação do enunciado).
- Cancelando
(não nula para todo , e a equação é função de com essa dependência):
- Substitua
(obtido no Passo 5):
- Logo:
E então
Passo 7
Escrevendo o potencial final nas duas regiões.
- Para
:
- Para
:
Essas expressões coincidem com as pedidas no enunciado.