Uma casca cilíndrica de raio a possui densidade superficial de carga \sigma(\varphi)=\sigma_{0} \cos \varphi. Mostre que o potencial dentro e fora da casca é dado por
V(s, \varphi)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sigma_{0} s}{2 \epsilon_{0}} \cos \varphi & s<a \\\ \frac{\sigma_{0} a^{2}}{2 \epsilon_{0} s} \cos \varphi & s>a \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica infinitamente longa de raio a com densidade superficial de carga dependente do ângulo azimutal:
\sigma(\varphi)=\sigma_{0}\cos\varphi.
O que se pede: encontrar o potencial eletrostático V(s,\varphi) em todas as regiões do espaço, isto é:
  • para s<a (dentro da casca);
  • para s>a (fora da casca).
Informações relevantes fornecidas:
  • A distribuição depende apenas de \varphi e é proporcional a \cos\varphi.
  • A casca é infinitamente longa (invariância na direção z), logo V não depende de z.
  • Não há cargas volumétricas nas regiões s\neq a; portanto, em cada região valem as equações de Laplace.

Passo 2

Conseqüências da simetria e forma geral das soluções.
  • Por invariância em z, tratamos o problema em coordenadas cilíndricas no plano (s,\varphi). O potencial satisfaz a equação de Laplace bidimensional (sem termos em z).
  • Como a carga varia como \cos\varphi, espera-se que o potencial tenha a mesma dependência angular \cos\varphi (índice azimutal n=1). Em termos de séries de Fourier em \varphi, apenas o harmônico n=1 aparece (não há termos \sin\varphi nem harmônicos de ordem diferente).
  • Para um harmônico azimutal n a solução geral da equação de Laplace (no plano, sem dependência em z) tem a forma
V_n(s,\varphi) = \big(A_n s^n + B_n s^{-n}\big)\cos(n\varphi)
ou com \sin(n\varphi) caso haja componente senoidal. Para n=0 o termo é diferente (constante e logaritmo), mas aqui não precisamos dele porque a carga é pura \cos\varphi (média nula).
  • Assim, para o nosso caso ( n=1) a forma geral em cada região é
V(s,\varphi)=\big(A s + B s^{-1}\big)\cos\varphi,
com constantes A,B que podem ser distintas dentro e fora da casca.

Passo 3

Escolhendo as formas físicas dentro e fora da casca.
  • Dentro ( s<a) o potencial deve ser finito em s=0. O termo s^{-1} seria singular em s=0, logo seu coeficiente deve ser zero na região interna. Portanto para s<a a forma é
V_{\text{in}}(s,\varphi)=C\, s\cos\varphi,
onde C é uma constante a determinar.
  • Fora ( s>a) o potencial deve se anular (ou pelo menos não divergir) quando s\to\infty. O termo s cresce com s, então seu coeficiente deve ser zero na região externa. Assim para s>a
V_{\text{out}}(s,\varphi)=D\, s^{-1}\cos\varphi,
onde D é outra constante a determinar.

Passo 4

Condições de contorno na superfície s=a.
Duas condições aplicáveis numa superfície carregada:
  1. Continuidade do potencial eletrostático através da casca (não há salto finito em V por ser apenas uma carga superficial infinitesimalmente fina):
V_{\text{in}}(a,\varphi)=V_{\text{out}}(a,\varphi).
  1. Salto no componente normal do campo elétrico relacionado à densidade superficial \sigma(\varphi). A condição baseada na lei de Gauss para um elemento pillbox atravessando a casca dá:
\epsilon_{0}\big(E_{\text{out},s}-E_{\text{in},s}\big)=\sigma(\varphi),
onde E_s é a componente radial do campo elétrico e o versor normal aponta do interior para o exterior (isto é, no sentido positivo de s). Como \mathbf{E}=-\nabla V temos E_s=-\partial V/\partial s. Substituindo:
\epsilon_{0}\Big(-\frac{\partial V_{\text{out}}}{\partial s} + \frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial s}\Big)=\sigma(\varphi).
É conveniente escrever essa condição avaliada em s=a.

Passo 5

Aplicando a continuidade do potencial em s=a.
  • Usando as formas escolhidas:
V_{\text{in}}(a,\varphi)=C\, a\cos\varphi, \qquad V_{\text{out}}(a,\varphi)=D\, a^{-1}\cos\varphi.
  • Igualando:
C\, a\cos\varphi = D\, a^{-1}\cos\varphi.
Como isso vale para todo \varphi, cancela-se \cos\varphi e obtemos a relação entre constantes:
D = C\, a^{2}.

Passo 6

Aplicando a condição do salto do campo (lei de Gauss).
  • Primeiro calcule as derivadas radiais:
\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial s} = C\cos\varphi, \qquad \frac{\partial V_{\text{out}}}{\partial s} = -D s^{-2}\cos\varphi.
  • Avaliando em s=a e substituindo na condição de salto:
\epsilon_{0}\Big(-\big(-D a^{-2}\cos\varphi\big) + C\cos\varphi\Big)=\sigma(\varphi).
Simplificando os sinais:
\epsilon_{0}\big(C\cos\varphi + D a^{-2}\cos\varphi\big)=\sigma_{0}\cos\varphi,
onde usei que \sigma(\varphi)=\sigma_{0}\cos\varphi (informação do enunciado).
  • Cancelando \cos\varphi (não nula para todo \varphi, e a equação é função de \varphi com essa dependência):
\epsilon_{0}\big(C + D a^{-2}\big)=\sigma_{0}.
  • Substitua D=C a^{2} (obtido no Passo 5):
\epsilon_{0}\big(C + C a^{2}\cdot a^{-2}\big)=\epsilon_{0}(C+C)=2\epsilon_{0}C=\sigma_{0}.
  • Logo:
C=\frac{\sigma_{0}}{2\epsilon_{0}}.
E então
D=C a^{2}=\frac{\sigma_{0}a^{2}}{2\epsilon_{0}}.

Passo 7

Escrevendo o potencial final nas duas regiões.
  • Para s<a:
V_{\text{in}}(s,\varphi)=C\, s\cos\varphi=\frac{\sigma_{0}}{2\epsilon_{0}}\, s\cos\varphi.
  • Para s>a:
V_{\text{out}}(s,\varphi)=D\, s^{-1}\cos\varphi=\frac{\sigma_{0}a^{2}}{2\epsilon_{0}}\,\frac{\cos\varphi}{s}.
Essas expressões coincidem com as pedidas no enunciado.

Resposta

V(s,\varphi)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\sigma_{0}\, s}{2 \epsilon_{0}} \cos \varphi & s<a,\\[6pt] \displaystyle \frac{\sigma_{0}\, a^{2}}{2 \epsilon_{0}\, s} \cos \varphi & s>a. \end{array}\right.]

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