Um condutor cilíndrico de raio a, eletricamente neutro e com potencial V_{0}, está sob a ação de um campo elétrico constante \boldsymbol{E}=E_{0} \hat{\boldsymbol{x}}. Neste exercício iremos encontrar o potencial usando separação de coordenadas em coordenadas cilíndricas.
(a) Usando separação de variáveis, mostre que a solução geral da equação de Laplace para este problema é
V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right)
(Dica: para a parte radial, considere separadamente os casos n=0 e n \neq 0.)
(b) Usando as condições de contorno do problema, mostre que
V(s, \varphi)=V_{0}-E_{0} s \cos \varphi+E_{0} \frac{a^{2}}{s} \cos \varphi
(c) Encontre o campo elétrico total em todos os pontos externos ao cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico de raio a, mantido no potencial constante V_{0}, imerso num campo elétrico externo uniforme \boldsymbol{E}=E_{0}\,\hat{\boldsymbol{x}}. Pede-se:
  • (a) mostrar, por separação de variáveis, que a solução geral da equação de Laplace (região bidimensional ao redor do cilindro, sem dependência em z) é
V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right).
  • (b) aplicar as condições de contorno (potencial do condutor V(a,\varphi)=V_{0} e campo externo \boldsymbol{E}=E_{0}\hat{\boldsymbol{x}} para s\to\infty) para obter a solução particular
V(s,\varphi)=V_{0}-E_{0}s\cos\varphi + E_{0}\dfrac{a^{2}}{s}\cos\varphi.
  • (c) encontrar o campo elétrico total nos pontos externos ao cilindro (ou seja, \boldsymbol{E}=-\nabla V para s\ge a).
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas cilíndricas/planas: (s,\varphi) (sem dependência em z).
  • Equação a satisfazer: equação de Laplace \nabla^{2}V=0 no domínio externo s\ge a.
  • Simetria do problema: campo externo na direção x corresponde à dependência angular em \cos\varphi; potencial no condutor é independente de \varphi.

Passo 2

Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas (no plano, sem z):
\nabla^{2}V=\frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\!\left(s\frac{\partial V}{\partial s}\right)+\frac{1}{s^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial\varphi^{2}}=0.
Procuramos soluções por separação de variáveis da forma V(s,\varphi)=S(s)\,\Phi(\varphi). Substituindo:
\frac{1}{s}\frac{d}{ds}\!\left(s\frac{dS}{ds}\right)\Phi(\varphi)+\frac{1}{s^{2}}S(s)\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}}=0.
Dividindo por S(s)\Phi(\varphi) e multiplicando por s^{2} obtemos
s\frac{1}{S}\frac{d}{ds}\!\left(s\frac{dS}{ds}\right)+\frac{1}{\Phi}\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}}=0.
Cada termo depende só de uma variável, logo ambos devem ser iguais a uma constante de separação -n^{2} (escolha convencional):
\frac{1}{\Phi}\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}}=-n^{2},\qquad s\frac{d}{ds}\!\left(s\frac{dS}{ds}\right)-n^{2}S=0.

Passo 3

Resolver a equação angular: \dfrac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}}+n^{2}\Phi=0.
As soluções são, para inteiro n\ge 0,
\Phi(\varphi)=C_{n}\cos n\varphi + D_{n}\sin n\varphi.
A exigência de periodicidade \Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi) força n inteiro.
Agora a equação radial: escrever explicitamente
s^{2}\frac{d^{2}S}{ds^{2}}+s\frac{dS}{ds}-n^{2}S=0,
que é a equação de Euler-Cauchy. Tratar separadamente os casos n=0 e n\neq 0.
  • Caso n=0: a equação radial torna-se
s^{2}S''+sS'=0.
Integrando: sS' = \text{const}=B_{0}, então S' = B_{0}/s, e integrando novamente
S(s)=A_{0}+B_{0}\ln s.
  • Caso n\neq 0: a equação tem solução do tipo S(s)=s^{\lambda}. Substituindo obtém-se \lambda(\lambda-1)+\lambda-n^{2}=0\Rightarrow \lambda^{2}-n^{2}=0\Rightarrow \lambda=\pm n. Logo as soluções gerais são combinações lineares
S(s)=A_{n}s^{n}+B_{n}s^{-n}.
Multiplicando cada S(s) pela respectiva \Phi(\varphi) e somando sobre todos os modos n dá a solução geral (somando também o caso n=0):
V(s,\varphi)=A_{0}+B_{0}\ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n}s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n}\cos n\varphi+D_{n}\sin n\varphi\right),
que é exatamente a forma pedida na parte (a).

Passo 4

Agora aplicar as condições físicas/contorno para escolher os coeficientes (parte (b)).
Condições:
  • Potencial no condutor: V(a,\varphi)=V_{0} (independente de \varphi).
  • Campo externo uniforme \boldsymbol{E}=E_{0}\hat{\boldsymbol{x}} corresponde, para o potencial, à condição assintótica (até uma constante)
V(s,\varphi)\xrightarrow[s\to\infty]{} -E_{0}s\cos\varphi + \text{const.}
(Recall: potencial de um campo uniforme \boldsymbol{E}=E_{0}\hat{\boldsymbol{x}} é -E_{0}x = -E_{0}s\cos\varphi.)
Argumentos de simetria e regularidade:
  • O problema é simétrico em y\mapsto -y (campo ao longo de x), portanto não haverá termos em \sin n\varphi: todos D_{n}=0.
  • Como não há carga de linha no eixo, não se espera um termo \ln s no exterior; além disso B_{0}\ln s diverge para s\to\infty, que não é compatível com o comportamento físico dado (apenas uma parte linear em s mais constante). Assim B_{0}=0.
  • Modos com n\ge 2 não aparecem na condição de contorno em infinito (pois -E_{0}s\cos\varphi é apenas modo n=1); portanto, para satisfazer as duas condições com solução válida, só os modos n=0 e n=1 sobrevivem.
Então a solução externa reduz-se a
V(s,\varphi)=A_{0}+\left(A_{1}s+\frac{B_{1}}{s}\right)C_{1}\cos\varphi.
Podemos absorver C_{1} nos coeficientes A_{1},B_{1}; para simplicidade escolhemos C_{1}=1. Assim
V(s,\varphi)=A_{0}+\left(A_{1}s+\frac{B_{1}}{s}\right)\cos\varphi.
Impor s\to\infty: V\to A_{0}+A_{1}s\cos\varphi. Para coincidir com o potencial do campo externo escolhemos
A_{1}=-E_{0},
e deixamos A_{0} como a constante que será fixada pela condição no condutor.
Agora impor V(a,\varphi)=V_{0} para todo \varphi:
V(a,\varphi)=A_{0}+\left(A_{1}a+\frac{B_{1}}{a}\right)\cos\varphi = V_{0}.
Como o lado direito é independente de \varphi, o coeficiente de \cos\varphi deve ser zero:
A_{1}a+\frac{B_{1}}{a}=0 \quad\Rightarrow\quad B_{1}=-A_{1}a^{2}.
Substituindo A_{1}=-E_{0} B_{1}=E_{0}a^{2}.
Por último, escolhendo A_{0}=V_{0} (isto garante que V(a,\varphi)=V_{0} após usar a condição que anula o termo em \cos\varphi), obtemos a solução particular
V(s,\varphi)=V_{0}-E_{0}s\cos\varphi + E_{0}\frac{a^{2}}{s}\cos\varphi,
que é a expressão pedida na parte (b). Observação: a escolha de A_{0}=V_{0} é natural aqui porque fixamos a constante global para que o condutor fique exatamente em V_{0}.

Passo 5

Calcular o campo elétrico total externo (parte (c)). Lembrar que
\boldsymbol{E}=-\nabla V.
Em coordenadas cilíndricas o gradiente é
\nabla V = \hat{\boldsymbol{s}}\frac{\partial V}{\partial s} + \hat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
Portanto
\boldsymbol{E} = -\hat{\boldsymbol{s}}\frac{\partial V}{\partial s} - \hat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
Calcular as derivadas a partir de
V(s,\varphi)=V_{0}-E_{0}s\cos\varphi + E_{0}\frac{a^{2}}{s}\cos\varphi.
Derivada radial:
\frac{\partial V}{\partial s} = -E_{0}\cos\varphi - E_{0}\frac{a^{2}}{s^{2}}\cos\varphi = -E_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\cos\varphi.
Derivada angular:
\frac{\partial V}{\partial\varphi} = -E_{0}s(-\sin\varphi) + E_{0}\frac{a^{2}}{s}(-\sin\varphi) = E_{0}\left(s-\frac{a^{2}}{s}\right)\sin\varphi.
Logo os componentes do campo são
E_{s} = -\frac{\partial V}{\partial s} = E_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\cos\varphi,
E_{\varphi} = -\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial\varphi} = -E_{0}\left(1-\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\sin\varphi.
Portanto o campo elétrico (para s\ge a) em coordenadas cilíndricas é
\boldsymbol{E}(s,\varphi)=E_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}} - E_{0}\left(1-\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
(se desejar em componentes cartesianas, pode usar \hat{\boldsymbol{x}}=\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e \hat{\boldsymbol{y}}=\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} para converter; a forma cilíndrica é direta e clara para este problema.)

Resposta

(a) V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right)
(b) V(s,\varphi)=V_{0}-E_{0}s\cos\varphi + E_{0}\dfrac{a^{2}}{s}\cos\varphi
(c) \boldsymbol{E}(s,\varphi)=E_{0}\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}}-E_{0}\left(1-\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}

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