Um condutor cilíndrico de raio a, eletricamente neutro e com potencial V_{0}, está sob a ação de um campo elétrico constante \boldsymbol{E}=E_{0} \hat{\boldsymbol{x}}. Neste exercício iremos encontrar o potencial usando separação de coordenadas em coordenadas cilíndricas.
(a) Usando separação de variáveis, mostre que a solução geral da equação de Laplace para este problema é
V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right)
(Dica: para a parte radial, considere separadamente os casos n=0 e n \neq 0.)
(b) Usando as condições de contorno do problema, mostre que
V(s, \varphi)=V_{0}-E_{0} s \cos \varphi+E_{0} \frac{a^{2}}{s} \cos \varphi
(c) Encontre o campo elétrico total em todos os pontos externos ao cilindro.
Passo 1
O enunciado dá um condutor cilíndrico de raio a, mantido no potencial constante V_{0}, imerso num campo elétrico externo uniforme \boldsymbol{E}=E_{0}\,\hat{\boldsymbol{x}}. Pede-se:
(a) mostrar, por separação de variáveis, que a solução geral da equação de Laplace (região bidimensional ao redor do cilindro, sem dependência em z) é
V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right).
(b) aplicar as condições de contorno (potencial do condutor V(a,\varphi)=V_{0} e campo externo \boldsymbol{E}=E_{0}\hat{\boldsymbol{x}} para s\to\infty) para obter a solução particular
que é a equação de Euler-Cauchy. Tratar separadamente os casos n=0 e n\neq 0.
Caso n=0: a equação radial torna-se
s^{2}S''+sS'=0.
Integrando: sS' = \text{const}=B_{0}, então S' = B_{0}/s, e integrando novamente
S(s)=A_{0}+B_{0}\ln s.
Caso n\neq 0: a equação tem solução do tipo S(s)=s^{\lambda}. Substituindo obtém-se \lambda(\lambda-1)+\lambda-n^{2}=0\Rightarrow \lambda^{2}-n^{2}=0\Rightarrow \lambda=\pm n. Logo as soluções gerais são combinações lineares
S(s)=A_{n}s^{n}+B_{n}s^{-n}.
Multiplicando cada S(s) pela respectiva \Phi(\varphi) e somando sobre todos os modos n dá a solução geral (somando também o caso n=0):
(Recall: potencial de um campo uniforme \boldsymbol{E}=E_{0}\hat{\boldsymbol{x}} é -E_{0}x = -E_{0}s\cos\varphi.)
Argumentos de simetria e regularidade:
O problema é simétrico em y\mapsto -y (campo ao longo de x), portanto não haverá termos em \sin n\varphi: todos D_{n}=0.
Como não há carga de linha no eixo, não se espera um termo \ln s no exterior; além disso B_{0}\ln s diverge para s\to\infty, que não é compatível com o comportamento físico dado (apenas uma parte linear em s mais constante). Assim B_{0}=0.
Modos com n\ge 2 não aparecem na condição de contorno em infinito (pois -E_{0}s\cos\varphi é apenas modo n=1); portanto, para satisfazer as duas condições com solução válida, só os modos n=0 e n=1 sobrevivem.
Por último, escolhendo A_{0}=V_{0} (isto garante que V(a,\varphi)=V_{0} após usar a condição que anula o termo em \cos\varphi), obtemos a solução particular
que é a expressão pedida na parte (b). Observação: a escolha de A_{0}=V_{0} é natural aqui porque fixamos a constante global para que o condutor fique exatamente em V_{0}.
Passo 5
Calcular o campo elétrico total externo (parte (c)). Lembrar que
\boldsymbol{E}=-\nabla V.
Em coordenadas cilíndricas o gradiente é
\nabla V = \hat{\boldsymbol{s}}\frac{\partial V}{\partial s} + \hat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
(se desejar em componentes cartesianas, pode usar \hat{\boldsymbol{x}}=\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e \hat{\boldsymbol{y}}=\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{s}}+\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} para converter; a forma cilíndrica é direta e clara para este problema.)
Resposta
(a) V(s, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} s^{n}+\frac{B_{n}}{s^{n}}\right)\left(C_{n} \cos n \varphi+D_{n} \sin n \varphi\right)