Uma esfera possui densidade superficial de carga \sigma(\theta)=\sigma_{0} \cos \theta. Encontre os três primeiros momentos de multipolo do potencial.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera (raio que chamarei de a) com densidade superficial de carga dependente do ângulo polar \theta
\sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos\theta.
O que se pede: encontrar os três primeiros momentos de multipolo do potencial — isto é, os termos correspondentes a l=0 (monopolo), l=1 (dipolo) e l=2 (quadrupolo) na expansão multipolar do potencial para pontos fora da esfera ( r>a).
Informações relevantes fornecidas:
  • \sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos\theta;
  • a esfera tem raio a (introduzido para definir as dimensões);
  • a simetria é axial em relação ao eixo z (porque \sigma depende só de \theta).

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos para o potencial fora de uma distribuição superficial de carga em uma esfera e como os coeficientes aparecem.
Para r>a vale a expansão
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r'^{\,l}}{r^{\,l+1}}P_{l}(\cos\gamma),
onde \gamma é o ângulo entre \mathbf{r} (ponto de observação) e \mathbf{r}' (ponto da carga). O potencial devido à carga superficial é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{\text{superfície}}\frac{\sigma(\theta')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,dA'.í
Substituindo a expansão e usando a dependência angular apenas em \theta', obtemos (tratando a esfera de raio a, isto é r'=a):
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{a^{l}}{r^{\,l+1}}P_{l}(\cos\theta)\;S_{l},
onde definimos o coeficiente angular S_{l} como a integral sobre a superfície
S_{l}=\int_{\text{esfera}}\sigma(\theta')P_{l}(\cos\theta')\,dA'.
Aqui dA'=a^{2}\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi'. Essa fórmula mostra que, para cada l, bastará calcular S_{l} para saber o termo multipolar correspondente.

Passo 3

Calcular S_{l} para a densidade dada. Substituindo dA' e \sigma(\theta'):
S_{l}=2\pi a^{2}\int_{0}^{\pi}\sigma_{0}\cos\theta'\,P_{l}(\cos\theta')\sin\theta'\,d\theta'.
Troca de variável u=\cos\theta', com du=-\sin\theta'\,d\theta', transforma a integral em
S_{l}=2\pi a^{2}\sigma_{0}\int_{-1}^{1} u\,P_{l}(u)\,du.
Agora usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
\int_{-1}^{1}P_{n}(u)P_{m}(u)\,du=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}.
Como u=P_{1}(u), o produto u\,P_{l}(u)=P_{1}(u)P_{l}(u) só dará integral não-nula quando l=1. Portanto:
  • Para l\neq1 temos \displaystyle \int_{-1}^{1}u\,P_{l}(u)\,du=0.
  • Para l=1 temos
\int_{-1}^{1}u\,P_{1}(u)\,du=\int_{-1}^{1}P_{1}(u)^{2}\,du=\frac{2}{2\cdot1+1}=\frac{2}{3}.
Logo
S_{1}=2\pi a^{2}\sigma_{0}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}\,a^{2}\sigma_{0},
e para l=0 e l=2 (e todos os demais l\neq1) temos S_{l}=0.

Passo 4

Montar os termos l=0,1,2 do potencial usando a expressão geral
V_{l}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{a^{l}}{r^{\,l+1}}P_{l}(\cos\theta)\,S_{l}.
  • Monopolo ( l=0): S_{0}=0, portanto
V_{0}(r,\theta)=0.
  • Dipolo ( l=1): S_{1}=\dfrac{4\pi}{3}a^{2}\sigma_{0}. Como P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta,
V_{1}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{a^{1}}{r^{2}}\cos\theta\; \frac{4\pi}{3}a^{2}\sigma_{0} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3}\,\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
Essa expressão pode ser reconhecida como o potencial de um dipolo pontual de momento \mathbf{p} alinhado com z, porque o potencial dipolar padrão é
V_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Comparando, o momento dipolar tem módulo
p=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3},
e vetor
\mathbf{p}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Quadrupolo ( l=2): S_{2}=0, portanto
V_{2}(r,\theta)=0.

Passo 5

Para confirmar a interpretação física do dipolo, posso calcular o momento dipolar diretamente pela definição vetorial para cargas de superfície:
\mathbf{p}=\int_{\text{superfície}}\mathbf{r}'\,\sigma(\theta')\,dA'.í
Aqui \mathbf{r}'=a\hat{\mathbf{r}}' e, pela simetria, só a componente z sobrevive:
p_{z}=a\int\sigma(\theta')\cos\theta'\,dA' = a\cdot 2\pi a^{2}\sigma_{0}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta'\sin\theta'\,d\theta'.
Com u=\cos\theta' obtemos \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta'\sin\theta'\,d\theta'=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=\tfrac{2}{3}. Assim
p_{z}=a\cdot 2\pi a^{2}\sigma_{0}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3},
em acordo com o resultado encontrado via S_{1}.

Passo 6

Resumo interpretativo (o que isso significa para o potencial):
  • O monopolo é nulo: a carga total da esfera é zero, logo não há termo 1/r.
  • O único termo não nulo entre os três primeiros é o dipolo ( l=1): o potencial exterior é puramente dipolar e decai como 1/r^{2}.
  • O quadrupolo (e todos os l\ge2) são nulos porque a densidade é proporcional a P_{1}(\cos\theta).

Resposta

Monopolo ( l=0): 0
Dipolo ( l=1): \displaystyle \mathbf{p}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3}\,\hat{\mathbf{z}} (e o termo do potencial é \displaystyle V_{1}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}a^{3}\,\frac{\cos\theta}{r^{2}})
Quadrupolo ( l=2): 0

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