Uma esfera possui densidade superficial de carga
. Encontre os três primeiros momentos de multipolo do potencial.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera (raio que chamarei de
) com densidade superficial de carga dependente do ângulo polar
O que se pede: encontrar os três primeiros momentos de multipolo do potencial — isto é, os termos correspondentes a
(monopolo),
(dipolo) e
(quadrupolo) na expansão multipolar do potencial para pontos fora da esfera (
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
; - a esfera tem raio
(introduzido para definir as dimensões); - a simetria é axial em relação ao eixo
(porque depende só de ).
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos para o potencial fora de uma distribuição superficial de carga em uma esfera e como os coeficientes aparecem.
Para
vale a expansão
onde
é o ângulo entre
(ponto de observação) e
(ponto da carga). O potencial devido à carga superficial é
Substituindo a expansão e usando a dependência angular apenas em
, obtemos (tratando a esfera de raio
, isto é
):
onde definimos o coeficiente angular
como a integral sobre a superfície
Aqui
. Essa fórmula mostra que, para cada
, bastará calcular
para saber o termo multipolar correspondente.
Passo 3
Calcular
para a densidade dada. Substituindo
e
:
Troca de variável
, com
, transforma a integral em
Agora usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Como
, o produto
só dará integral não-nula quando
. Portanto:
- Para
temos . - Para
temos
Logo
e para
e
(e todos os demais
) temos
.
Passo 4
Montar os termos
do potencial usando a expressão geral
- Monopolo (
): , portanto
- Dipolo (
): . Como ,
Essa expressão pode ser reconhecida como o potencial de um dipolo pontual de momento
alinhado com
, porque o potencial dipolar padrão é
Comparando, o momento dipolar tem módulo
e vetor
- Quadrupolo (
): , portanto
Passo 5
Para confirmar a interpretação física do dipolo, posso calcular o momento dipolar diretamente pela definição vetorial para cargas de superfície:
Aqui
e, pela simetria, só a componente
sobrevive:
Com
obtemos
. Assim
em acordo com o resultado encontrado via
.
Passo 6
Resumo interpretativo (o que isso significa para o potencial):
- O monopolo é nulo: a carga total da esfera é zero, logo não há termo
. - O único termo não nulo entre os três primeiros é o dipolo (
): o potencial exterior é puramente dipolar e decai como . - O quadrupolo (e todos os
) são nulos porque a densidade é proporcional a .
Resposta
Monopolo (
):
Dipolo (
):
(e o termo do potencial é
)
Quadrupolo (
):