Para uma casca condutora esférica carregada:
a. Encontre uma expressão para o campo elétrico e o potencial dentro e fora da casca.
b. Esboce os gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma casca condutora esférica carregada. Vamos focar em encontrar as expressões para o campo elétrico e o potencial elétrico tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, precisamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma casca condutora esférica. Imagine uma esfera feita de material condutor com carga elétrica distribuída uniformemente na sua superfície. Como é condutor, as cargas se distribuem apenas na superfície externa da casca.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 $).

Passo 4

Vamos considerar dois casos: pontos dentro da casca (raio $ r < R $) e pontos fora da casca (raio $ r > R $), onde $ R $ é o raio da casca.

Passo 5

Para $ r < R $ (dentro da casca):
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se redistribuem na superfície externa para cancelar qualquer campo interno.
Assim, $ E_{dentro} = 0 $.

Passo 6

Para $ r > R $ (fora da casca):
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. A carga total dentro dessa superfície é $ Q $, a carga da casca.
O fluxo elétrico $ \Phi $ é:
r > R
Resolvendo para $ E $:
r

Passo 7

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico $ V $. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V

Passo 8

Para $ r < R $:
Como $ E = 0 $, a derivada do potencial em relação a $ r $ também é zero. Isso significa que o potencial é constante dentro da casca. Vamos chamar esse potencial de $ V_{dentro} = V_0 $.

Passo 9

Para $ r > R $:
Integrando a relação $ E = -\frac{dV}{dr} $:
r > R
Onde $ C $ é a constante de integração. Definimos o potencial no infinito como zero, então $ C = 0 $. Assim,
E = -dVdr

Passo 10

Agora, precisamos determinar $ V_0 $, o potencial dentro da casca. O potencial deve ser contínuo em $ r = R $.
V0
Então,
r = R

Passo 11

Então, temos:
  • Dentro da casca ($ r < R $):
    r < R
  • Fora da casca ($ r > R $):
    E = 0 e V = Q4pi epsilon0 R

Resposta

Assim, as expressões para o campo elétrico e o potencial são:
  • Campo Elétrico:
    E(r) = 0 & para r < R dfracQ4pi epsilon0 r^2 & para r > R
  • Potencial Elétrico:
    V(r) = dfracQ4pi epsilon0 R & para r < R dfracQ4pi epsilon0 r & para r > R

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