Para uma casca condutora esférica carregada:
a. Encontre uma expressão para o campo elétrico e o potencial dentro e fora da casca.
b. Esboce os gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca.
a. Encontre uma expressão para o campo elétrico e o potencial dentro e fora da casca.
b. Esboce os gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma casca condutora esférica carregada. Vamos focar em encontrar as expressões para o campo elétrico e o potencial elétrico tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, precisamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma casca condutora esférica. Imagine uma esfera feita de material condutor com carga elétrica distribuída uniformemente na sua superfície. Como é condutor, as cargas se distribuem apenas na superfície externa da casca.
Passo 3
Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 $).
Passo 4
Vamos considerar dois casos: pontos dentro da casca (raio $ r < R $) e pontos fora da casca (raio $ r > R $), onde $ R $ é o raio da casca.
Passo 5
Para $ r < R $ (dentro da casca):
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se redistribuem na superfície externa para cancelar qualquer campo interno.
Assim, $ E_{dentro} = 0 $.
Passo 6
Para $ r > R $ (fora da casca):
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. A carga total dentro dessa superfície é $ Q $, a carga da casca.
O fluxo elétrico $ \Phi $ é:
Resolvendo para $ E $:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico $ V $. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Passo 8
Para $ r < R $:
Como $ E = 0 $, a derivada do potencial em relação a $ r $ também é zero. Isso significa que o potencial é constante dentro da casca. Vamos chamar esse potencial de $ V_{dentro} = V_0 $.
Passo 9
Para $ r > R $:
Integrando a relação $ E = -\frac{dV}{dr} $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Definimos o potencial no infinito como zero, então $ C = 0 $. Assim,
Passo 10
Agora, precisamos determinar $ V_0 $, o potencial dentro da casca. O potencial deve ser contínuo em $ r = R $.
Então,
Passo 11
Então, temos:
-
Dentro da casca ($ r < R $):
-
Fora da casca ($ r > R $):
Resposta
Assim, as expressões para o campo elétrico e o potencial são:
-
Campo Elétrico:
-
Potencial Elétrico:
V(r) = dfracQ4pi epsilon0 R & para r < R dfracQ4pi epsilon0 r & para r > R