Para uma casca condutora esférica carregada: Esboce os gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma casca condutora esférica carregada. O que isso quer dizer? Basicamente, é uma esfera oca feita de material condutor que tem carga elétrica distribuída na sua superfície. A nossa missão é desenhar como o potencial elétrico e o campo elétrico variam quando a gente muda a distância a partir do centro dessa casca. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre leis de Coulomb e como o potencial e o campo se comportam em estruturas esféricas carregadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o campo elétrico. Para uma casca esférica carregada, o campo elétrico dentro da casca (ou seja, a uma distância menor que o raio da casca) é zero. Isso acontece porque as cargas na superfície se distribuem de maneira que se cancelam dentro da casca. Fora da casca, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. A fórmula para o campo elétrico fora é:
Onde:
- $ E® $ é o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro,
- $ Q $ é a carga total,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ r $ é a distância do centro.
Passo 3
Agora, sobre o potencial elétrico. Dentro da casca, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície da casca. Fora, o potencial diminui com a distância, seguindo a relação:
Então, dentro da casca (r < R), $ V® = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $, onde $ R $ é o raio da casca. Fora, o potencial diminui proporcionalmente a $ \frac{1}{r} $.
Passo 4
Vamos resumir para desenhar os gráficos:
-
Campo Elétrico ($ E® $):
- Para $ r < R $: $ E® = 0 $
- Para $ r \geq R $: $ E® $ cai proporcionalmente a $ \frac{1}{r^2} $
-
Potencial Elétrico ($ V® $):
- Para $ r < R $: $ V® $ é constante, igual a $ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $
- Para $ r \geq R $: $ V® $ cai proporcionalmente a $ \frac{1}{r} $
Resposta
Então, resumindo:
-
Gráfico do Campo Elétrico:
- É zero dentro da casca (r < R).
- Fora da casca (r ≥ R), o campo diminui conforme $ \frac{1}{r^2} $.
-
Gráfico do Potencial Elétrico:
- Dentro da casca, o potencial é constante e igual a $ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $.
- Fora da casca, o potencial diminui conforme $ \frac{1}{r} $.
Esses comportamentos refletem como a carga distribuída na casca influencia o campo e o potencial ao longo das diferentes regiões ao redor da esfera.