Para uma casca condutora esférica carregada: Esboce os gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma casca condutora esférica carregada. O que isso quer dizer? Basicamente, é uma esfera oca feita de material condutor que tem carga elétrica distribuída na sua superfície. A nossa missão é desenhar como o potencial elétrico e o campo elétrico variam quando a gente muda a distância a partir do centro dessa casca. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre leis de Coulomb e como o potencial e o campo se comportam em estruturas esféricas carregadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o campo elétrico. Para uma casca esférica carregada, o campo elétrico dentro da casca (ou seja, a uma distância menor que o raio da casca) é zero. Isso acontece porque as cargas na superfície se distribuem de maneira que se cancelam dentro da casca. Fora da casca, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. A fórmula para o campo elétrico fora é:
E(r) = Q4pivarepsilon0 r^2
Onde:
  • $ E® $ é o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro,
  • $ Q $ é a carga total,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ r $ é a distância do centro.

Passo 3

Agora, sobre o potencial elétrico. Dentro da casca, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície da casca. Fora, o potencial diminui com a distância, seguindo a relação:
V(r) = Q4pivarepsilon0 r
Então, dentro da casca (r < R), $ V® = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $, onde $ R $ é o raio da casca. Fora, o potencial diminui proporcionalmente a $ \frac{1}{r} $.

Passo 4

Vamos resumir para desenhar os gráficos:
  • Campo Elétrico ($ E® $):
    • Para $ r < R $: $ E® = 0 $
    • Para $ r \geq R $: $ E® $ cai proporcionalmente a $ \frac{1}{r^2} $
  • Potencial Elétrico ($ V® $):
    • Para $ r < R $: $ V® $ é constante, igual a $ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $
    • Para $ r \geq R $: $ V® $ cai proporcionalmente a $ \frac{1}{r} $

Resposta

Então, resumindo:
  • Gráfico do Campo Elétrico:
    • É zero dentro da casca (r < R).
    • Fora da casca (r ≥ R), o campo diminui conforme $ \frac{1}{r^2} $.
  • Gráfico do Potencial Elétrico:
    • Dentro da casca, o potencial é constante e igual a $ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $.
    • Fora da casca, o potencial diminui conforme $ \frac{1}{r} $.
Esses comportamentos refletem como a carga distribuída na casca influencia o campo e o potencial ao longo das diferentes regiões ao redor da esfera.

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