Uma casca condutora esférica tem raio interno 30 cm e raio externo 80 cm . No centro de sua cavidade esférica há uma carga pontual de 500 nC . A carga do condutor, que está em equilibrio eletrostático, é de -1000 nC . (a) Calcule o módulo do campo elétrico nas regiôes (i) r<30 cm, (ii) 30 cm e (iii) r>80 cm. (b) Calcule a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa do condutor.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma casca condutora esférica com raio interno de 30 cm e raio externo de 80 cm. No centro dessa cavidade interna, há uma carga pontual de 500 nC. A casca condutora, em equilíbrio eletrostático, possui uma carga de -1000 nC.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar os conceitos de Lei de Gauss e campo elétrico em condutores.
O que precisamos para resolver:
  • Aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico nas diferentes regiões.
  • Entender como as cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.
  • Calcular a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa da casca.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a distribuição de cargas na casca condutora.
Sabemos que, em equilíbrio eletrostático:
  • O campo elétrico dentro de um condutor é zero.
  • As cargas livres se distribuem apenas nas superfícies externa e interna.
Dado que há uma carga pontual de 500 nC no centro da cavidade, a casca irá acomodar uma carga igual e oposta na superfície interna para manter o campo dentro do condutor nulo. Portanto, a superfície interna terá uma carga de -500 nC.
A carga total da casca é de -1000 nC. Como já temos -500 nC na superfície interna, a superfície externa terá o restante:
Carga externa = Carga total - Carga interna = -1000 , nC - (-500 , nC) = -500 , nC

Passo 3

Agora vamos calcular o campo elétrico nas três regiões especificadas.
Região (i): PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, estamos dentro da cavidade esférica, mas não no ponto exato da carga.
Usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = 500 times 10^-9 , C8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2 .
A carga encerrada é apenas a carga pontual no centro, que é 500 nC.
A Lei de Gauss diz:
E = 500 times 10^-94pi varepsilon0 r^2 approx 500 times 10^-94pi (8,85 times 10^-12) r^2
Como o campo elétrico é radial e constante sobre a superfície, temos:
Resolvendo para :

Passo 4

Região (ii): E = 0 , N/C
Nesta região, estamos dentro do condutor, onde o campo elétrico é zero.
Isso ocorre porque, em equilíbrio eletrostático, os condutores não têm campo elétrico no interior. As cargas livres se redistribuem de forma a cancelar qualquer campo interno.
Portanto:

Passo 5

Região (iii): Qenc = 500 , nC + (-1000 , nC) = -500 , nC
Aqui, estamos fora da casca condutora.
Usamos novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio E cdot 4pi r^2 = -500 times 10^-9 , C8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2 .
A carga total encerrada é a soma da carga pontual e da carga da casca:
E = -500 times 10^-94pi varepsilon0 r^2 approx -500 times 10^-94pi (8,85 times 10^-12) r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos dos campos elétricos.
Usaremos E = 500 times 10^-94pi times 8,85 times 10^-12 times (0,3)^2 .
Região (i): E approx 500 times 10^-94 times 3,14 times 8,85 times 10^-12 times 0,09
E approx 5,03 times 10^5 , N/C
E = -500 times 10^-94pi times 8,85 times 10^-12 times (0,8)^2
E approx -500 times 10^-94 times 3,14 times 8,85 times 10^-12 times 0,64
Região (iii): E approx -1,41 times 10^5 , N/C

Passo 7

Agora vamos calcular a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa da casca.
A densidade superficial de carga sigma = QA é dada por:
Ainterna = 4pi (0,3)^2 = 4pi times 0,09 = 1,13 , m^2
onde sigmainterna = -500 times 10^-9 , C1,13 , m^2 approx -4,42 times 10^-7 , C/m^2 é a área da superfície.
Superfície interna ( Aexterna = 4pi (0,8)^2 = 4pi times 0,64 = 8,05 , m^2 ):
sigmaexterna = -500 times 10^-9 , C8,05 , m^2 approx -6,21 times 10^-8 , C/m^2
Superfície externa ( ):

Resposta

(a)
(i) Para E approx 5,03 times 10^5 , N/C :
E = 0 , N/C
(ii) Para E approx -1,41 times 10^5 , N/C :
sigmainterna approx -4,42 times 10^-7 , C/m^2
(iii) Para sigmaexterna approx -6,21 times 10^-8 , C/m^2 :
(b)
Densidade superficial de carga:
  • Superfície interna:
  • Superfície externa:

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