Uma casca condutora esférica tem raio interno 30 cm e raio externo 80 cm . No centro de sua cavidade esférica há uma carga pontual de 500 nC . A carga do condutor, que está em equilibrio eletrostático, é de -1000 nC . (a) Calcule o módulo do campo elétrico nas regiôes (i)
, (ii)
e (iii)
. (b) Calcule a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa do condutor.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma casca condutora esférica com raio interno de 30 cm e raio externo de 80 cm. No centro dessa cavidade interna, há uma carga pontual de 500 nC. A casca condutora, em equilíbrio eletrostático, possui uma carga de -1000 nC.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar os conceitos de Lei de Gauss e campo elétrico em condutores.
O que precisamos para resolver:
- Aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico nas diferentes regiões.
- Entender como as cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.
- Calcular a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa da casca.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a distribuição de cargas na casca condutora.
Sabemos que, em equilíbrio eletrostático:
- O campo elétrico dentro de um condutor é zero.
- As cargas livres se distribuem apenas nas superfícies externa e interna.
Dado que há uma carga pontual de 500 nC no centro da cavidade, a casca irá acomodar uma carga igual e oposta na superfície interna para manter o campo dentro do condutor nulo. Portanto, a superfície interna terá uma carga de -500 nC.
A carga total da casca é de -1000 nC. Como já temos -500 nC na superfície interna, a superfície externa terá o restante:
Passo 3
Agora vamos calcular o campo elétrico nas três regiões especificadas.
Região (i):
Aqui, estamos dentro da cavidade esférica, mas não no ponto exato da carga.
Usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
.
A carga encerrada é apenas a carga pontual no centro, que é 500 nC.
A Lei de Gauss diz:
Como o campo elétrico é radial e constante sobre a superfície, temos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Região (ii):
Nesta região, estamos dentro do condutor, onde o campo elétrico é zero.
Isso ocorre porque, em equilíbrio eletrostático, os condutores não têm campo elétrico no interior. As cargas livres se redistribuem de forma a cancelar qualquer campo interno.
Portanto:
Passo 5
Região (iii):
Aqui, estamos fora da casca condutora.
Usamos novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio
.
A carga total encerrada é a soma da carga pontual e da carga da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos dos campos elétricos.
Usaremos
.
Região (i):
Região (iii):
Passo 7
Agora vamos calcular a densidade superficial de carga nas superfícies interna e externa da casca.
A densidade superficial de carga
é dada por:
onde
é a área da superfície.
Superfície interna (
):
Superfície externa (
):
Resposta
(a)
(i) Para
:
(ii) Para
:
(iii) Para
:
(b)
Densidade superficial de carga:
- Superfície interna:
- Superfície externa: