Uma casca esférica de carga Q e densidade volumétrica de cargas uniforme rho é limitada pelas superfícies r=r1 e r=r2, com r2>r1. Tomando V=0 no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca, considerando as regiões (a) r>r2, (b) r2>r>r e © r. (d) Essas soluções são compatíveis para r=r2 e r=r1 ? (ref. Exercício 93-Cap. 24-8 ^a ed)

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que precisamos.
Enunciado (matéria: eletrostática / potencial de distribuições esféricas):
– Uma casca esférica, volumetricamente carregada com densidade uniforme rho, está entre r=r1 e r=r2 ( r2>r1).
– Queremos o potencial V(r) (com V(infty)=0) em:
(a) r>r2,
(b) r1,
© r,
e (d) checar se as soluções se “encaixam” nos limites r=r2 e r=r1.
O que vamos precisar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo E(r) em cada região.
  2. Relação entre campo e potencial: V(r);=;- integralinfty^,r !E(r'),dr',, V(infty)=0
    3. Expressão do total de carga:
    Q ;=;rho;4pi3l(r2^3 - r1^3r)

Passo 2

Calcular E(r) com a Lei de Gauss, devido à simetria esférica:
  1. Para r>r2, toda carga Q está dentro da gaussiana de raio r, E(r);=;14pivarepsilon0,Qr^2,
    2) Para r1, só a carga até o raio r está envolvida:
    Qrm enc(r);=;rho;4pi3l(r^3 - r1^3r),$$E®;=;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q_{\rm enc}®}{r^2}
         =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\Bigl(r-\frac{r_1^3}{r^2}\Bigr).$$  
    
  2. Para E(r);=;14pivarepsilon0,Qrm enc(r)r^2 =rho3varepsilon0,l(r-r1^3r^2r), não há carga dentro da superfície de raio r, então r

Passo 3

Potencial para r>r2:
V(r);=;- integralinfty^rE(r'),dr' =- integralinfty^r14pivarepsilon0Qr'^2,dr' =14pivarepsilon0,Qr,

Passo 4

Potencial para r1:
Dividimos a integração em dois pedaços, de infty a r2 (onde usamos Erm out) e de r2 a r (onde usamos Erm in):
V(r) =underbrace-integralinfty^r2Q4pivarepsilon0 r'^2dr'V(r2) ;-!integralr2^rrho3varepsilon0l(r'-r1^3r'^2r)dr',
Fazendo as integrais dá, após simplificar,
V(r) =rho6varepsilon0l(3,r2^2 - r^2 - 2,r1^3rr),, r1

Passo 5

Potencial para r:
Como E=0 aí, V(r) é constante e igual a V(r1). Substituindo r=r1 na expressão de cima:
V(r

Passo 6

Compatibilidade nas fronteiras:
– Em r=r2 as fórmulas de (a) e (b) coincidem?
Inserindo r=r2 em (b):
V(r2)=rho6varepsilon0(3r2^2 - r2^2 -2r1^3/r2) =rho3varepsilon0l(r2^2 -r1^3r2r) =Q4pivarepsilon0,r2,
que é justamente a expressão (a).
– Em r=r1 (b) e © também coincidem, como vimos no passo 5.
Ou seja, V(r) é contínuo em todas as regiões.

Resposta

(a) Para r>r2
V(r)=14pivarepsilon0,Qr, Q=rho,4pi3(r2^3-r1^3)
(b) Para r1
V(r)=rho6varepsilon0l(3,r2^2 - r^2 - 2,tfracr1^3rr)
© Para r
V(r)=rho2varepsilon0,l(r2^2 - r1^2r)
(d) Sim, as três expressões coincidem em r=r2 e em r=r1, garantindo continuidade de V(r),.

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