Uma casca esférica de carga
e densidade volumétrica de cargas uniforme
é limitada pelas superfícies
e
, com
. Tomando
no infinito, determine o potencial elétrico
em função da distância
em relação ao centro da casca, considerando as regiões (a)
, (b)
e ©
. (d) Essas soluções são compatíveis para
e
? (ref. Exercício 93-Cap. 24-8
ed)
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que precisamos.
Enunciado (matéria: eletrostática / potencial de distribuições esféricas):
– Uma casca esférica, volumetricamente carregada com densidade uniforme , está entre
e
(
).
– Queremos o potencial (com
) em:
(a) ,
(b) ,
© ,
e (d) checar se as soluções se “encaixam” nos limites e
.
O que vamos precisar:
Enunciado (matéria: eletrostática / potencial de distribuições esféricas):
– Uma casca esférica, volumetricamente carregada com densidade uniforme
– Queremos o potencial
(a)
(b)
©
e (d) checar se as soluções se “encaixam” nos limites
O que vamos precisar:
- Lei de Gauss para achar o campo
em cada região. - Relação entre campo e potencial:
3. Expressão do total de carga:
Passo 2
Calcular
com a Lei de Gauss, devido à simetria esférica:
- Para
, toda carga está dentro da gaussiana de raio ,
2) Para, só a carga até o raio está envolvida:
$$E®;=;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q_{\rm enc}®}{r^2} =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\Bigl(r-\frac{r_1^3}{r^2}\Bigr).$$
- Para
, não há carga dentro da superfície de raio , então
Passo 3
Potencial para
:
Passo 4
Potencial para
:
Dividimos a integração em dois pedaços, de a
(onde usamos
) e de
a
(onde usamos
):
Dividimos a integração em dois pedaços, de
Fazendo as integrais dá, após simplificar,
Passo 5
Potencial para
r :
ComoE=0 aí,
V(r) é constante e igual a
V(r1) . Substituindo
r=r1 na expressão de cima:
Como
Passo 6
Compatibilidade nas fronteiras:
– Emr=r2 as fórmulas de (a) e (b) coincidem?
Inserindor=r2 em (b):
– Em
Inserindo
que é justamente a expressão (a).
– Emr=r1 (b) e © também coincidem, como vimos no passo 5.
Ou seja,V(r) é contínuo em todas as regiões.
– Em
Ou seja,
Resposta
(a) Para
r>r2
(b) Para
r1
© Para
r
(d) Sim, as três expressões coincidem em
r=r2 e em
r=r1 , garantindo continuidade de
V(r), .