(Dipolo elétrico) Um dipolo é formado por +q e -q separados por uma distância 2 a.
(a) Calcule o potencial em um ponto P no eixo do dipolo.
(b) Calcule o potencial em um ponto sobre o eixo equatorial.
(c) Analise o limite r \gg a e obtenha a aproximação do potencial de dipolo.

Passo 1

O enunciado trata de um dipolo elétrico formado por cargas +q e -q separadas pela distância 2a. Vamos usar a superposição do potencial escalar de duas cargas pontuais no vácuo, onde
V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{r_i}\,.
Em (a) calculamos V ao longo do eixo que une as cargas, em (b) ao longo do eixo equatorial (plano perpendicular ao eixo de dipolo passando pelo ponto médio), e em (c) fazemos a expansão para r\gg a.

Passo 2

Para um ponto P no eixo do dipolo tomamos o eixo z passando pelo meio das cargas e medimos z=r desde o ponto médio. Então as distâncias até +q e -q são
r_+=r - a,\quad r_-=r + a.
Aplicando superposição,
V_{\rm eixo}(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q}{r_+}+\frac{-q}{r_-}\Bigr) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r-a}-\frac{1}{r+a}\Bigr).

Passo 3

Num ponto P sobre o eixo equatorial (plano z=0), a distância até cada carga é igual:
\rho=\sqrt{r^2+a^2}\quad\text{(onde \(r\) é a distância no plano equatorial).}éâ
Portanto
V_{\rm equatorial} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q}{\rho}-\frac{q}{\rho}\Bigr) =0.

Passo 4

No limite de distância grande r\gg a expandimos em série de Taylor para a parte axial:
\frac{1}{r\mp a} =\frac{1}{r}\frac{1}{1\mp a/r} \approx\frac{1}{r}\bigl(1\pm \tfrac{a}{r}+\cdots\bigr).
Logo
\frac{1}{r-a}-\frac{1}{r+a} \approx \frac{1}{r}\bigl[(1+a/r)-(1-a/r)\bigr] =\frac{2a}{r^2}.
Substituindo em V_{\rm eixo} e definindo o momento de dipolo p=2qa, obtemos
V_{\rm dip}(r) \approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2a}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p}{r^2}.

Resposta

(a) Para o ponto P no eixo do dipolo:
V_{\rm eixo}(r) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r-a}-\frac{1}{r+a}\Bigr).
(b) Para um ponto no eixo equatorial:
V_{\rm equatorial}=0.
(c) No limite r\gg a, com p=2q\,a,
V_{\rm dip}(r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p}{r^2}.

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