Uma casca esférica é colocada em um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico total através da casca.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o fluxo elétrico total através de uma casca esférica que está colocada em um campo elétrico uniforme.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Há um campo elétrico uniforme externo, que chamarei de
. - A superfície é uma casca esférica fechada (superfície esférica de raio
). - O enunciado não menciona cargas dentro da casca, portanto considera-se que não há carga elétrica no interior da casca (ou seja, carga interna
).
Não vou resolver ainda — só enumerei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
O que é fluxo elétrico e como a gente o calcula (aulas básicas, passo a passo).
- Definição: o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada
é
onde
é o campo elétrico no ponto da superfície e
é o vetor área orientado para fora (magnitude igual à área do elemento e direção normal externa).
- Intuição:
mede quanto as linhas de campo “atravessam” o pequeno pedaço de área; somando sobre toda a superfície obtemos o fluxo total.
Passo 3
Lei de Gauss (a ferramenta poderosa e simples).
- A lei de Gauss em forma integral relaciona fluxo com carga interna:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo.
- Aplicação imediata ao nosso caso: como não há carga dentro da casca (assunção do enunciado), temos
. Portanto, pela lei de Gauss,
Esse já é o resultado geral e definitivo: o fluxo total através de qualquer superfície fechada que não contém carga é zero, independentemente de ser esfera, caixa, ou forma irregular, e independentemente de o campo externo ser uniforme.
Passo 4
Explicação física/intuitiva (para fixar o entendimento).
- Num campo uniforme as linhas de campo entram pela metade da casca (lado “contrário” ao sentido do campo) e saem pela outra metade (lado “a favor” do sentido do campo). Como não há fontes nem sumidouros dentro da casca, o número de linhas que entram é igual ao número que sai — cancelamento → fluxo líquido zero.
- Isso é consistente com Gauss: sem carga dentro, nada cria ou destrói linhas de campo no interior.
Passo 5
Cálculo explícito (mostra como fazer na prova se pedirem integrar). Vou colocar o eixo
na direção do campo uniforme e escrever
com
constant. Em coordenadas esféricas:
- O vetor área da esfera de raio
é . - O produto escalar
.
Logo,
Fatorando constantes:
Calcule cada integral:
e para a integral em
faça
, então
e os limites vão de
a
:
Portanto
. Resultado consistente com Gauss.
Passo 6
Resumo e dicas de prova (para você que tá estudando correndo):
- Método mais rápido: aplique diretamente a lei de Gauss e verifique se há carga interna. Se não houver, responda
. Isso vale para qualquer superfície fechada. - Se o examinador quiser ver cálculo explícito, mostre a integral em coordenadas esféricas como no Passo 5; costuma impressionar porque confirma a intuição e o teorema.
- Atenção: se a casca contiver carga total
(por exemplo uma carga no interior ou distribuída internamente), então o fluxo seria . Sempre cheque se há carga dentro.