Uma casca esférica é colocada em um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico total através da casca.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo elétrico total através de uma casca esférica que está colocada em um campo elétrico uniforme.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Há um campo elétrico uniforme externo, que chamarei de \mathbf{E}.
  • A superfície é uma casca esférica fechada (superfície esférica de raio \,R\,).
  • O enunciado não menciona cargas dentro da casca, portanto considera-se que não há carga elétrica no interior da casca (ou seja, carga interna =0).
    Não vou resolver ainda — só enumerei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

O que é fluxo elétrico e como a gente o calcula (aulas básicas, passo a passo).
  • Definição: o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada S é
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície e d\mathbf{A} é o vetor área orientado para fora (magnitude igual à área do elemento e direção normal externa).
  • Intuição: \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} mede quanto as linhas de campo “atravessam” o pequeno pedaço de área; somando sobre toda a superfície obtemos o fluxo total.

Passo 3

Lei de Gauss (a ferramenta poderosa e simples).
  • A lei de Gauss em forma integral relaciona fluxo com carga interna:
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Aplicação imediata ao nosso caso: como não há carga dentro da casca (assunção do enunciado), temos Q_{\text{int}}=0. Portanto, pela lei de Gauss,
\Phi=0.
Esse já é o resultado geral e definitivo: o fluxo total através de qualquer superfície fechada que não contém carga é zero, independentemente de ser esfera, caixa, ou forma irregular, e independentemente de o campo externo ser uniforme.

Passo 4

Explicação física/intuitiva (para fixar o entendimento).
  • Num campo uniforme as linhas de campo entram pela metade da casca (lado “contrário” ao sentido do campo) e saem pela outra metade (lado “a favor” do sentido do campo). Como não há fontes nem sumidouros dentro da casca, o número de linhas que entram é igual ao número que sai — cancelamento → fluxo líquido zero.
  • Isso é consistente com Gauss: sem carga dentro, nada cria ou destrói linhas de campo no interior.

Passo 5

Cálculo explícito (mostra como fazer na prova se pedirem integrar). Vou colocar o eixo z na direção do campo uniforme e escrever \mathbf{E}=E_{0}\,\hat{z} com E_{0} constant. Em coordenadas esféricas:
  • O vetor área da esfera de raio \,R\, é d\mathbf{A}=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\;\hat{r}.
  • O produto escalar \hat{r}\cdot\hat{z}=\cos\theta.
    Logo,
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} E_{0}\cos\theta\;R^{2}\sin\theta\;d\theta\;d\varphi.
Fatorando constantes:
\Phi=E_{0}R^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\;d\theta\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
e para a integral em \theta faça u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta e os limites vão de u(0)=1 a u(\pi)=-1:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\;d\theta=-\int_{1}^{-1} u\;du =-\left[\tfrac{1}{2}u^{2}\right]_{1}^{-1} =-\left(\tfrac{1}{2}\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot1\right)=0.
Portanto \Phi=E_{0}R^{2}\cdot 2\pi\cdot 0=0. Resultado consistente com Gauss.

Passo 6

Resumo e dicas de prova (para você que tá estudando correndo):
  • Método mais rápido: aplique diretamente a lei de Gauss e verifique se há carga interna. Se não houver, responda \Phi=0. Isso vale para qualquer superfície fechada.
  • Se o examinador quiser ver cálculo explícito, mostre a integral em coordenadas esféricas como no Passo 5; costuma impressionar porque confirma a intuição e o teorema.
  • Atenção: se a casca contiver carga total Q (por exemplo uma carga no interior ou distribuída internamente), então o fluxo seria \Phi=Q/\varepsilon_{0}. Sempre cheque se há carga dentro.

Resposta

\Phi=0

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