No centro de um cubo de 2 m de aresta se encontra uma carga de 50 \mu \mathrm{C}. Calcule a intensidade do campo no centro de um lado e o fluxo que atravessará cada uma delas. (O meio considerado é o vácuo).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Aresta do cubo: a=2\\ \mathrm{m}.
    • Carga puntiforme no centro do cubo: q=50\\ \mu\mathrm{C}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Meio: vácuo (constante dielétrica \varepsilon_0 conhecida).
  • O enunciado pede:
    1. A intensidade do campo elétrico no centro de um lado (isto é, no ponto central de uma face do cubo).
    2. O fluxo elétrico que atravessará cada uma das faces do cubo.

Passo 2

Determinar a posição onde vamos avaliar o campo e a distância até a carga.
  • O centro da face está à distância metade da aresta a partir do centro do cubo. Logo a distância r do centro do cubo até o centro de uma face é
r=\frac{a}{2}=\frac{2\\ \mathrm{m}}{2}=1\\ \mathrm{m}.
  • Esse é o raio que usaremos na Lei de Coulomb para calcular o campo naquele ponto.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico no centro de uma face usando a Lei de Coulomb (explicação e aplicação).
  • Teoria (rápida e clara): a Lei de Coulomb para o campo criado por uma carga puntiforme diz que a intensidade do campo elétrico a uma distância r da carga é
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{r^2}.
Aqui:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática, frequentemente escrita como k, com k\approx8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • q é a carga (valor absoluto) e r é a distância ao ponto onde se quer o campo.
  • Substituindo os valores:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2} = k\frac{q}{r^2}
E \approx 8{,}9875517923\times10^{9}\cdot\frac{50\times10^{-6}}{(1)^2}\\ \mathrm{N/C}.
  • Calcule passo a passo:
    • Primeiro 50\times10^{-6}=5,0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
    • Então kq=8{,}9875517923\times10^{9}\times5,0\times10^{-5}=4{,}49377589615\times10^{5}.
  • Arredondando razoavelmente:
E\approx4{,}49\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção do campo: como a carga está no centro do cubo, o vetor campo no centro da face aponta radialmente para fora (se a carga for positiva) e é perpendicular à face. Aqui q>0, então o campo aponta para fora, normal à face.

Passo 4

Cálculo do fluxo elétrico total e por face usando a Lei de Gauss (explicação e aplicação).
  • Teoria (essencial): a Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada S é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\Phi_{\text{total}}=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • No nosso caso a superfície fechada é o cubo que contém a carga q no seu interior, logo
\Phi_{\text{total}}=\frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Simetria e distribuição do fluxo: a carga está exatamente no centro do cubo, então por simetria o fluxo total atravessa igualmente as seis faces. Portanto o fluxo através de cada face é
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}=\frac{q}{6\varepsilon_0}.
  • Substituindo numericamente:
\Phi_{\text{face}}=\frac{50\times10^{-6}}{6\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Calcule passo a passo:
    • Primeiro 6\varepsilon_0=6\times8{,}854187817\times10^{-12}=5{,}3125126902\times10^{-11}.
    • Depois \dfrac{50\times10^{-6}}{5{,}3125126902\times10^{-11}} \approx 9{,}410016\times10^{5}.
  • Arredondando:
\Phi_{\text{face}}\approx9{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 5

Observação didática importante para a prova (só para fixar um ponto que costuma confundir):
  • Não se deve calcular o fluxo por face simplesmente como E_{\text{no centro}}\times área da face, porque o campo não é uniforme sobre toda a face (varia do centro aos cantos). O uso de \Phi_{\text{face}}=q/(6\varepsilon_0) vem da Lei de Gauss + simetria, que é o caminho correto e elegante aqui.

Resposta

E no centro de uma face: 4{,}49\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (direção: normal à face, para fora, pois q>0).
Fluxo através de cada face: \Phi_{\text{face}}=9{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

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