Uma casca esférica condutora e aterrada, com raio interno a e externo b, é preenchida com uma densidade de carga constante \rho. Encontre:
o potencial no centro da esfera;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Há uma casca esférica condutora e aterrada com raio interno a e raio externo b.
  • A região interna à casca (isto é, r<a) está preenchida por uma densidade de carga volumétrica uniforme \rho.
  • A casca é condutora e está aterrada, portanto todo o metal (faixa a\le r\le b) está no mesmo potencial, e esse potencial vale zero: V(a)=0.
  • O que se pede: o potencial elétrico no centro da esfera (ou seja, V(0)).
Informações úteis que vou usar: constante do meio livre \varepsilon_0. Vou aproveitar a simetria esférica do problema para usar a Lei de Gauss e depois calcular o potencial integrando o campo elétrico radial.

Passo 2

Revisão da ferramenta principal: Lei de Gauss em vácuo.
A Lei de Gauss diz que, para um campo elétrico \mathbf{E},
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada \mathcal{S}, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
No caso de simetria esférica (densidade \rho uniforme no interior), escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada no mesmo centro. Por simetria, \mathbf{E} é radial puro e depende só de r, então a integral de superfície fica simples:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.
Aqui E(r) é a magnitude do campo elétrico na distância radial r do centro. Vou aplicar isso para 0\le r<a.

Passo 3

Calcular Q_{\text{int}}(r) para r<a.
Como a densidade volumétrica é constante \rho, a carga contida numa esfera de raio r é
Q_{\text{int}}(r)=\rho \cdot \text{(volume da esfera de raio }r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}.
Simplificando os fatores comuns:
E(r)=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0},
direcionado radialmente para fora se \rho>0. Em forma explícita:
E(r)=\frac{\rho\, r}{3\varepsilon_0}\qquad(\text{para }0\le r<a).
Observação: no metal ( a\le r\le b) o campo é nulo e o potencial é constante; como o metal está aterrado, esse potencial constante vale zero: V(a)=0.

Passo 4

Relação entre campo elétrico radial e potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos radiais r_1 e r_2 é dada por
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
No caso radial com \mathbf{E}=E(r)\,\hat r e d\mathbf{l}=dr\,\hat r, isso fica
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2} E(r)\,dr.
Queremos V(0). Tomando r_1=a (onde V(a)=0) e r_2=0, obtemos
V(0)-V(a)=-\int_{a}^{0} E(r)\,dr=\int_{0}^{a} E(r)\,dr,
ou seja, como V(a)=0,
V(0)=\int_{0}^{a} E(r)\,dr.

Passo 5

Calcular explicitamente a integral para V(0).
Substituindo E(r)=\dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0} na integral:
V(0)=\int_{0}^{a} \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\,dr =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_{0}^{a} r\,dr.
A integral é simples:
\int_{0}^{a} r\,dr=\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{a}=\frac{a^2}{2}.
Portanto
V(0)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{\rho a^2}{6\varepsilon_0}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem dimensional.
  • A unidade está correta: \rho tem unidade \mathrm{C/m^3}, multiplicado por a^2 (m^2) e dividido por \varepsilon_0 dá volts.
  • Comparação com a esfera isolada: se a esfera cheia fosse isolada (não ligada à terra), o potencial no centro em relação ao infinito seria maior; aqui, como a casca condutora está aterrada e fixa em V=0 na superfície r=a, o potencial no centro é somente a contribuição interna entre 0 e a, resultando em \dfrac{\rho a^2}{6\varepsilon_0}.
Força final: tá pronto — é um resultado bem simples quando se usa Gauss e a relação potencial–campo. Boa sorte na prova, você tá indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{\rho a^{2}}{6\varepsilon_{0}}

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