Uma casca esférica condutora e aterrada, com raio interno
e externo
, é preenchida com uma densidade de carga constante
. Encontre:
o potencial no centro da esfera;
o potencial no centro da esfera;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Há uma casca esférica condutora e aterrada com raio interno
e raio externo . - A região interna à casca (isto é,
) está preenchida por uma densidade de carga volumétrica uniforme . - A casca é condutora e está aterrada, portanto todo o metal (faixa
) está no mesmo potencial, e esse potencial vale zero: . - O que se pede: o potencial elétrico no centro da esfera (ou seja,
).
Informações úteis que vou usar: constante do meio livre
. Vou aproveitar a simetria esférica do problema para usar a Lei de Gauss e depois calcular o potencial integrando o campo elétrico radial.
Passo 2
Revisão da ferramenta principal: Lei de Gauss em vácuo.
A Lei de Gauss diz que, para um campo elétrico
,
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada
, e
é a permissividade do vácuo.
No caso de simetria esférica (densidade
uniforme no interior), escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada no mesmo centro. Por simetria,
é radial puro e depende só de
, então a integral de superfície fica simples:
Aqui
é a magnitude do campo elétrico na distância radial
do centro. Vou aplicar isso para
.
Passo 3
Calcular
para
.
Como a densidade volumétrica é constante
, a carga contida numa esfera de raio
é
Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando os fatores comuns:
direcionado radialmente para fora se
. Em forma explícita:
Observação: no metal (
) o campo é nulo e o potencial é constante; como o metal está aterrado, esse potencial constante vale zero:
.
Passo 4
Relação entre campo elétrico radial e potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos radiais
e
é dada por
No caso radial com
e
, isso fica
Queremos
. Tomando
(onde
) e
, obtemos
ou seja, como
,
Passo 5
Calcular explicitamente a integral para
.
Substituindo
na integral:
A integral é simples:
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e checagem dimensional.
- A unidade está correta:
tem unidade , multiplicado por (m^2) e dividido por dá volts. - Comparação com a esfera isolada: se a esfera cheia fosse isolada (não ligada à terra), o potencial no centro em relação ao infinito seria maior; aqui, como a casca condutora está aterrada e fixa em
na superfície , o potencial no centro é somente a contribuição interna entre e , resultando em .
Força final: tá pronto — é um resultado bem simples quando se usa Gauss e a relação potencial–campo. Boa sorte na prova, você tá indo bem!