Uma bolha de sabão, com raio de 1 cm , está em um potencial de 100 volts, quando colapsa para uma bolha menor de 1 mm de raio. Qual será a variação na sua energia eletrostática neste processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Raio inicial: R_i=1\\ \text{cm}.
  • Raio final: R_f=1\\ \text{mm}.
  • Potencial do “balão” (bolha) durante o processo: V=100\\ \text{V}.
  • Pergunta: qual é a variação na energia eletrostática da bolha quando ela colapsa de R_i para R_f?
Também anoto uma constante que vamos usar (valor do vácuo):
\varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}.

Passo 2

Interpretação do enunciado e escolha do método (explicando por que): o enunciado diz que a bolha “está em um potencial de 100\\ \text{V}”. Vou interpretar isso como o potencial sendo mantido em V=100\\ \text{V} (por exemplo, a bolha está ligada a um reservatório que fixa V). Nesse caso a grandeza fixa é o potencial V e não a carga Q. Essa escolha é importante porque a fórmula da energia depende de qual variável é mantida fixa: se Q fixo usa-se U=\dfrac{Q^2}{2C}; se V fixo usa-se U=\dfrac{1}{2}C V^2. Aqui vou usar U=\dfrac{1}{2}C V^2.

Passo 3

Capacitância de uma esfera condutora — fórmula e significados: para uma esfera isolada de raio R a capacitância é
C = 4\pi \varepsilon_0 R.
Explicando as variáveis:
  • C é a capacitância (unidade: farad, F).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • R é o raio da esfera (em metros).
Motivação rápida: a relação entre carga Q e potencial V de uma esfera isolada é V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}. Reescrevendo Q=C V obtém-se C=4\pi\varepsilon_0 R.

Passo 4

Energia eletrostática com potencial fixo: quando o potencial é mantido constante em V, a energia eletrostática armazenada é
U=\frac{1}{2} C V^2.
Aqui C depende de R, então quando R muda U muda conforme C(R).

Passo 5

Expressão da variação de energia ao mudar o raio: substituindo C=4\pi\varepsilon_0 R na expressão de U,
U(R)=\frac{1}{2}\bigl(4\pi\varepsilon_0 R\bigr)V^2 = 2\pi\varepsilon_0 R V^2.
A variação de energia ao passar de R_i para R_f é
\Delta U = U(R_f)-U(R_i)=2\pi\varepsilon_0 V^2\bigl(R_f-R_i\bigr).
Observação qualitativa: como R_f<R_i, espera-se \Delta U<0 (a energia diminui — energia é devolvida ao circuito que mantém o potencial).

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo. Primeiro converter os raios para metros:
R_i=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m},\qquad R_f=1\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m}.
Substituindo em \Delta U:
\Delta U = 2\pi\varepsilon_0 V^2\bigl(R_f-R_i\bigr).
Agora os números:
2\pi\varepsilon_0 \approx 2\pi\cdot 8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}\approx 5{,}56\times10^{-11}\\ \text{F/m}.
R_f-R_i = 0{,}001 - 0{,}01 = -0{,}009\\ \text{m}.
V^2 = (100\\ \text{V})^2 = 10\,000\\ \text{V}^2.
Multiplicando:
\Delta U \approx \bigl(5{,}56\times10^{-11}\bigr)\cdot\bigl(-0{,}009\bigr)\cdot 10\,000 = -5{,}01\times10^{-9}\\ \text{J}.

Passo 7

Interpretação física final: a variação é negativa, ou seja a energia eletrostática diminui. O módulo |\Delta U|\approx 5{,}0\times10^{-9}\\ \text{J} é a energia liberada (por exemplo, devolvida ao gerador que mantém V) quando a bolha encolhe.

Resposta

-5{,}01\times10^{-9}\\ \text{J}

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