Duas batatas, de densidades de carga \rho_{1} e \rho_{2}, produzem campos elétricos \boldsymbol{E}_{1} e \boldsymbol{E}_{2}, respectivamente.
(a) Mostre que as forças entre as batatas são dadas por
\boldsymbol{F}_{21}=\int \rho_{2}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) \boldsymbol{E}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) d \tau_{2}=-\int \rho_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \boldsymbol{E}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) d \tau_{1}=-\boldsymbol{F}_{12}

Passo 1

O enunciado dá duas distribuições contínuas de carga (as duas batatas) e os campos elétricos que cada uma produz:
  • Distribuição 1: densidade de carga \rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1}) ocupando um certo volume V_{1}.
  • Distribuição 2: densidade de carga \rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2}) ocupando um certo volume V_{2}.
  • Campos elétricos: \boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r}) é o campo produzido por \rho_{1} em qualquer ponto \boldsymbol{r}; \boldsymbol{E}_{2}(\boldsymbol{r}) é o campo produzido por \rho_{2}.
O que o exercício pede:
Mostrar que a força exercida pela batata 1 sobre a batata 2 é
\boldsymbol{F}_{21}=\int_{V_{2}} \rho_{2}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\,\boldsymbol{E}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\,d\tau_{2},
e que essa força satisfaz
\boldsymbol{F}_{21}=-\int_{V_{1}} \rho_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\,\boldsymbol{E}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\,d\tau_{1}=-\boldsymbol{F}_{12}.
Listadas as quantidades e o objetivo; a resolução começa agora.

Passo 2

Expressar \boldsymbol{E}_{1} em termos de \rho_{1} usando a lei de Coulomb para distribuições contínuas. A lei de Coulomb diz que o campo produzido por um elemento de carga \rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,d\tau_{1} no ponto \boldsymbol{r} é
d\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\;\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}\;d\tau_{1},
onde:
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo;
  • \boldsymbol{r}_{1} é a posição do elemento de carga da batata 1;
  • \boldsymbol{r} é o ponto onde se quer o campo;
  • d\tau_{1} é o elemento de volume em torno de \boldsymbol{r}_{1}.
Integrando todos os elementos de V_{1} obtemos o campo total produzido pela batata 1 em qualquer ponto \boldsymbol{r}:
\boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V_{1}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\;\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}\;d\tau_{1}.
Aqui cada símbolo já foi explicado: \rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1}) é a densidade de carga no ponto \boldsymbol{r}_{1}; \boldsymbol{r} é onde se avalia o campo.

Passo 3

Agora escrevemos a força sobre a batata 2 devido ao campo de 1. A força sobre um elemento de volume d\tau_{2} em \boldsymbol{r}_{2} com carga \rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\,d\tau_{2} é \rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\,\boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r}_{2})\,d\tau_{2}. Integramos sobre V_{2} para obter a força total:
\boldsymbol{F}_{21}=\int_{V_{2}}\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\,\boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r}_{2})\,d\tau_{2}.
Substituindo a expressão de \boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r}_{2}) da Passo 2:
\boldsymbol{F}_{21}=\int_{V_{2}}\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V_{1}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\;\frac{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}\;d\tau_{1}\right]d\tau_{2}.

Passo 4

Trocar a ordem de integração (válido porque são integrais de funções razoáveis sobre volumes finitos) e fatorar constantes:
\boldsymbol{F}_{21}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V_{1}}\int_{V_{2}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\;\frac{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}\;d\tau_{2}\,d\tau_{1}.
É importante notar que agora temos uma integral dupla simétrica em \boldsymbol{r}_{1} e \boldsymbol{r}_{2} com o núcleo vetorial
\frac{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}.

Passo 5

Escrever a força \boldsymbol{F}_{12} (a força sobre a batata 1 devido ao campo de 2) de forma análoga; começamos por escrever o campo de 2 e depois integrar sobre V_{1}:
\boldsymbol{F}_{12}=\int_{V_{1}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,\boldsymbol{E}_{2}(\boldsymbol{r}_{1})\,d\tau_{1} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V_{2}}\int_{V_{1}}\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\,\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\;\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}}\;d\tau_{1}\,d\tau_{2}.
Repare que nas integrais duplas podemos renomear a ordem dos integrais sem mudar o valor; escrevendo na mesma ordem de integração que em \boldsymbol{F}_{21} (primeiro d\tau_{1}, depois d\tau_{2}), obtemos
\boldsymbol{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V_{1}}\int_{V_{2}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\;\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}}\;d\tau_{2}\,d\tau_{1}.

Passo 6

Comparar os núcleos vetoriais das duas integrais. Note que
\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}} = -\frac{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}{|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}|^{3}}.
Portanto, ao comparar as expressões para \boldsymbol{F}_{21} e \boldsymbol{F}_{12} (escritas na mesma ordem de integração e com os mesmos fatores escalares), concluímos que cada contribuição diferencial \rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2}) aparece com sinais opostos nas duas integrais. Logo
\boldsymbol{F}_{21}=-\boldsymbol{F}_{12}.
Também podemos reescrever \boldsymbol{F}_{21} como
\boldsymbol{F}_{21}=\int_{V_{2}}\rho_{2}(\boldsymbol{r}_{2})\,\boldsymbol{E}_{1}(\boldsymbol{r}_{2})\,d\tau_{2} =-\int_{V_{1}}\rho_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\,\boldsymbol{E}_{2}(\boldsymbol{r}_{1})\,d\tau_{1},
mostrando exatamente a igualdade pedida.
Observação física rápida (didática): a identidade acima é apenas a versão integral para distribuições contínuas da lei de ação e reação elétrica — cada par de elementos de carga troca forças opostas. Para evitar problemas formais com singulares (quando \boldsymbol{r}_{1}=\boldsymbol{r}_{2}) presume-se que os volumes V_{1} e V_{2} são distintos (as duas batatas ocupam regiões diferentes); nesse caso não há auto-interação problemática e a troca de integrais é perfeitamente válida.

Resposta

\boldsymbol{F}_{21}=\int_{V_{2}} \rho_{2}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) \boldsymbol{E}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) d \tau_{2}=-\int_{V_{1}} \rho_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \boldsymbol{E}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) d \tau_{1}=-\boldsymbol{F}_{12}

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