Duas batatas, de densidades de carga
e
, produzem campos elétricos
e
, respectivamente.
(a) Mostre que as forças entre as batatas são dadas por
(a) Mostre que as forças entre as batatas são dadas por
Passo 1
O enunciado dá duas distribuições contínuas de carga (as duas batatas) e os campos elétricos que cada uma produz:
- Distribuição 1: densidade de carga
ocupando um certo volume . - Distribuição 2: densidade de carga
ocupando um certo volume . - Campos elétricos:
é o campo produzido por em qualquer ponto ; é o campo produzido por .
O que o exercício pede:
Mostrar que a força exercida pela batata 1 sobre a batata 2 é
Mostrar que a força exercida pela batata 1 sobre a batata 2 é
e que essa força satisfaz
Listadas as quantidades e o objetivo; a resolução começa agora.
Passo 2
Expressar
em termos de
usando a lei de Coulomb para distribuições contínuas. A lei de Coulomb diz que o campo produzido por um elemento de carga
no ponto
é
onde:
-
é a permissividade do vácuo; -
é a posição do elemento de carga da batata 1; -
é o ponto onde se quer o campo; -
é o elemento de volume em torno de .
Integrando todos os elementos de
obtemos o campo total produzido pela batata 1 em qualquer ponto
:
Aqui cada símbolo já foi explicado:
é a densidade de carga no ponto
;
é onde se avalia o campo.
Passo 3
Agora escrevemos a força sobre a batata 2 devido ao campo de 1. A força sobre um elemento de volume
em
com carga
é
. Integramos sobre
para obter a força total:
Substituindo a expressão de
da Passo 2:
Passo 4
Trocar a ordem de integração (válido porque são integrais de funções razoáveis sobre volumes finitos) e fatorar constantes:
É importante notar que agora temos uma integral dupla simétrica em
e
com o núcleo vetorial
Passo 5
Escrever a força
(a força sobre a batata 1 devido ao campo de 2) de forma análoga; começamos por escrever o campo de 2 e depois integrar sobre
:
Repare que nas integrais duplas podemos renomear a ordem dos integrais sem mudar o valor; escrevendo na mesma ordem de integração que em
(primeiro
, depois
), obtemos
Passo 6
Comparar os núcleos vetoriais das duas integrais. Note que
Portanto, ao comparar as expressões para
e
(escritas na mesma ordem de integração e com os mesmos fatores escalares), concluímos que cada contribuição diferencial
aparece com sinais opostos nas duas integrais. Logo
Também podemos reescrever
como
mostrando exatamente a igualdade pedida.
Observação física rápida (didática): a identidade acima é apenas a versão integral para distribuições contínuas da lei de ação e reação elétrica — cada par de elementos de carga troca forças opostas. Para evitar problemas formais com singulares (quando
) presume-se que os volumes
e
são distintos (as duas batatas ocupam regiões diferentes); nesse caso não há auto-interação problemática e a troca de integrais é perfeitamente válida.