Uma casca esférica condutora de raio R=0,20 \mathrm{~m} possui uma carga total uniforme Q= 8 \mu \mathrm{C} distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
Na superfície da esfera. Considere:
\varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico na superfície de uma casca esférica condutora. Dados fornecidos:
  • Raio da esfera: R=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Carga total (toda localizada na superfície): Q=8\\ \mu\mathrm{C}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}).
    Pergunta: determinar o campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 2

Apresentar a Lei de Gauss e interpretar as variáveis usadas.
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_{0}. Em fórmula:
\Phi_E=\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico na superfície gaussiana;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área direcionado pela normal externa;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada.
Explicação didática: para uma distribuição esférica com simetria (carga distribuída só na superfície e esfera condutora), ao escolher uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial. Assim o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é simplesmente E\,dA e o fluxo fica E vezes a área da esfera.

Passo 3

Aplicar a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r (com r\ge R):
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Como toda a carga Q está na superfície da casca, para r>R tem-se Q_{\text{int}}=Q. Portanto:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\qquad(r\ge R).
No caso pedido, queremos o campo na superfície da esfera: isto é r=R. Então:
E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} R^{2}}.

Passo 4

Fazer a substituição numérica passo a passo.
Primeiro calcule R^{2}:
R^{2}=(0,20)^{2}=0,040\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora o denominador 4\pi\varepsilon_{0}R^{2}:
4\pi\varepsilon_{0}R^{2}=4\pi\times\bigl(8,85\times10^{-12}\bigr)\times0,040.
Calcule a parte em notação científica:
0,040\times8,85\times10^{-12}=3,54\times10^{-13}.
Então
4\pi\varepsilon_{0}R^{2}=4\pi\times 3,54\times10^{-13}.
Como 4\pi\approx12,566, tem-se
4\pi\varepsilon_{0}R^{2}\approx 12,566\times 3,54\times10^{-13}\approx 4,4483\times10^{-12}.
Agora o campo:
E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}=\frac{8\times10^{-6}}{4,4483\times10^{-12}}.
Dividindo:
E(R)\approx 1,799\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para três dígitos significativos:
E(R)\approx 1,80\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Interpretação física e direção do campo:
  • Como Q é positiva, o campo é radialmente para fora da superfície.
  • Observação importante sobre condutores: no interior do condutor (para r<R) o campo elétrico é zero. O valor encontrado é o campo imediatamente do lado externo da superfície.

Passo 6

Atalho opcional (checagem útil): usar densidade superficial de carga \sigma.
A densidade superficial é \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}. Para um condutor, o campo imediatamente fora da superfície também vale E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}. Substituindo \sigma obtém-se a mesma fórmula E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}, confirmando consistência dos resultados.

Resposta

E(R)=1,80\times10^{6}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora)

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