Uma casca esférica condutora de raio
possui uma carga total uniforme
distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
Na superfície da esfera. Considere:
Na superfície da esfera. Considere:
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico na superfície de uma casca esférica condutora. Dados fornecidos:
- Raio da esfera:
. - Carga total (toda localizada na superfície):
. - Constante dielétrica do vácuo:
.
Pergunta: determinar o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 2
Apresentar a Lei de Gauss e interpretar as variáveis usadas.
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por . Em fórmula:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
Aqui:
-
é o campo elétrico na superfície gaussiana; -
é o elemento de área direcionado pela normal externa; -
é a carga total contida dentro da superfície fechada.
Explicação didática: para uma distribuição esférica com simetria (carga distribuída só na superfície e esfera condutora), ao escolher uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial. Assim o produto escalar
é simplesmente
e o fluxo fica
vezes a área da esfera.
Passo 3
Aplicar a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio
(com
):
Como toda a carga
está na superfície da casca, para
tem-se
. Portanto:
No caso pedido, queremos o campo na superfície da esfera: isto é
. Então:
Passo 4
Fazer a substituição numérica passo a passo.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora o denominador
:
Calcule a parte em notação científica:
Então
Como
, tem-se
Agora o campo:
Dividindo:
Arredondando para três dígitos significativos:
Passo 5
Interpretação física e direção do campo:
- Como
é positiva, o campo é radialmente para fora da superfície. - Observação importante sobre condutores: no interior do condutor (para
) o campo elétrico é zero. O valor encontrado é o campo imediatamente do lado externo da superfície.
Passo 6
Atalho opcional (checagem útil): usar densidade superficial de carga
.
A densidade superficial é . Para um condutor, o campo imediatamente fora da superfície também vale
. Substituindo
obtém-se a mesma fórmula
, confirmando consistência dos resultados.
A densidade superficial é