Uma casca esférica condutora de raio
possui uma carga total uniforme
distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
No interior da esfera para
. Considere:
No interior da esfera para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda):
- Dado: raio da casca esférica condutora
. - Dado: carga total distribuída somente na superfície
. - Dado: constante do meio
. - Pedido: determinar o campo elétrico no interior da esfera para
(observe que ).
Passo 2
Apresentar a Lei de Gauss e como ela se aplica aqui (aula rápida e limpa).
A Lei de Gauss diz, em forma integral,
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área orientado da superfície fechada , -
é a carga total contida dentro da superfície , -
é a permissividade do vácuo.
Explicação didática: para uma distribuição com simetria esférica (como uma casca esférica), é conveniente escolher como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio
. Nesse caso o campo tem direção radial e, por simetria, tem módulo constante em toda a superfície gaussiana, então a integral fica simples.
Passo 3
Escrever a expressão do campo a partir da Lei de Gauss para uma esfera gaussiana de raio
.
Pela simetria e pela Lei de Gauss:
Isolando
,
Aqui:
-
é o módulo do campo elétrico na distância radial da origem, -
é a carga contida dentro da esfera de raio .
Passo 4
Determinar
para o caso pedido (
, que é menor que
) e justificar.
A casca é condutora e a carga está distribuída apenas na superfície externa de raio
. Em regime eletrostático, não há carga no volume interno do condutor: toda carga reside na superfície. Portanto, para qualquer esfera gaussiana de raio
com
,
Explicação intuitiva: dentro do metal em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo e não existe carga volumétrica — só aparece carga na superfície.
Passo 5
Substituir
na fórmula do campo e concluir numericamente.
Usando
e colocando
, obtém-se
Ou seja, o campo elétrico no interior da casca, para
(qualquer
), é nulo.
Observação útil para prova: se pedissem
, aí
e o campo seria
que é o campo equivalente ao de uma carga pontual
no centro.