Uma casca esférica condutora de raio R=0,20 \mathrm{~m} possui uma carga total uniforme Q= 8 \mu \mathrm{C} distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
No interior da esfera para \mathrm{r}=0,10 \mathrm{~m}. Considere:
\varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda):
  • Dado: raio da casca esférica condutora \,R=0,20\\ \mathrm{m}\,.
  • Dado: carga total distribuída somente na superfície \,Q=8\\ \mu\mathrm{C}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\,.
  • Dado: constante do meio \,\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2})\,.
  • Pedido: determinar o campo elétrico no interior da esfera para \,r=0,10\\ \mathrm{m}\, (observe que \,r<R).

Passo 2

Apresentar a Lei de Gauss e como ela se aplica aqui (aula rápida e limpa).
A Lei de Gauss diz, em forma integral,
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área orientado da superfície fechada \mathcal{S},
  • Q_{\rm int} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal{S},
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Explicação didática: para uma distribuição com simetria esférica (como uma casca esférica), é conveniente escolher como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio r. Nesse caso o campo tem direção radial e, por simetria, tem módulo constante em toda a superfície gaussiana, então a integral fica simples.

Passo 3

Escrever a expressão do campo a partir da Lei de Gauss para uma esfera gaussiana de raio r.
Pela simetria e pela Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E,
E=\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Aqui:
  • E é o módulo do campo elétrico na distância radial r da origem,
  • Q_{\rm int} é a carga contida dentro da esfera de raio r.

Passo 4

Determinar Q_{\rm int} para o caso pedido ( r=0,10\\ \mathrm{m}, que é menor que R) e justificar.
A casca é condutora e a carga está distribuída apenas na superfície externa de raio R. Em regime eletrostático, não há carga no volume interno do condutor: toda carga reside na superfície. Portanto, para qualquer esfera gaussiana de raio r com r<R,
Q_{\rm int}=0.
Explicação intuitiva: dentro do metal em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo e não existe carga volumétrica — só aparece carga na superfície.

Passo 5

Substituir Q_{\rm int}=0 na fórmula do campo e concluir numericamente.
Usando
E=\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}},
e colocando Q_{\rm int}=0, obtém-se
E=0.
Ou seja, o campo elétrico no interior da casca, para \,r=0,10\\ \mathrm{m} (qualquer r<R), é nulo.
Observação útil para prova: se pedissem r>R, aí Q_{\rm int}=Q e o campo seria
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}},
que é o campo equivalente ao de uma carga pontual Q no centro.

Resposta

E=0\\ \mathrm{N/C}

Exercícios relacionados