Uma casca esférica condutora de raio
possui uma carga total uniforme
distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
No exterior da esfera para
. Considere:
No exterior da esfera para
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica condutora de raio
que tem carga total distribuída apenas na superfície igual a
. Pede-se o campo elétrico no exterior da esfera, especificamente para
. Foi dado também
.
Informações relevantes:
-
. -
(conversão importante). - Ponto onde queremos o campo:
(note que , estamos no exterior). -
.
O objetivo: calcular
em
.
Passo 2
Ideia física (explicada devagar como num amigo): por simetria esférica, para
o campo elétrico na superfície de uma esfera condutora carregada é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma dada distância
do centro. A Lei de Gauss é a ferramenta mais direta: ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total interna. A forma integral da Lei de Gauss é
Aqui
é o campo elétrico,
é o elemento de área (vetorial),
é a carga dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana e avaliação do fluxo: escolhemos uma esfera concêntrica de raio
. Por simetria
é radial e tem módulo constante sobre essa superfície, e
é também radial, então
. O fluxo fica
Aqui usamos que a área de uma esfera é
.
Passo 4
Aplicando Gauss e isolando
: como toda a carga
está na superfície da casca e a superfície gaussiana escolhida envolve toda essa carga, temos
. Assim
e isolando
Explicando as variáveis:
é o módulo do campo no ponto a distância
do centro,
é a carga total dentro da superfície gaussiana,
é a constante dada e
é a distância onde se calcula o campo.
Passo 5
Substituição numérica passo a passo. Primeiro as conversões e quantidades:
Calcula-se
:
Agora
:
Passo 6
Divisão final para obter
:
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas), obtemos
Direção: como
, o campo é radialmente para fora (saindo do centro).
Passo 7
Interpretando de forma prática (dica de prova): para qualquer casca esférica condutora com carga
toda na superfície, para pontos externos o campo é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual
localizada no centro. Isso economiza muito tempo na prova: basta aplicar
para qualquer
.