Uma casca esférica condutora de raio R=0,20 \mathrm{~m} possui uma carga total uniforme Q= 8 \mu \mathrm{C} distribuída apenas em sua superfície. Utilize a Lei de Gauss, determine o campo elétrico:
No exterior da esfera para r=0,40 \mathrm{~m}. Considere:
\varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica condutora de raio R=0{,}20\\ \mathrm{m} que tem carga total distribuída apenas na superfície igual a Q=8\\ \mu\mathrm{C}. Pede-se o campo elétrico no exterior da esfera, especificamente para r=0{,}40\\ \mathrm{m}. Foi dado também \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}).
Informações relevantes:
  • R=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Q=8\\ \mu\mathrm{C}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (conversão importante).
  • Ponto onde queremos o campo: r=0{,}40\\ \mathrm{m} (note que r>R, estamos no exterior).
  • \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}).
O objetivo: calcular E em r=0{,}40\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ideia física (explicada devagar como num amigo): por simetria esférica, para r>R o campo elétrico na superfície de uma esfera condutora carregada é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma dada distância r do centro. A Lei de Gauss é a ferramenta mais direta: ela relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total interna. A forma integral da Lei de Gauss é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área (vetorial), Q_{\text{int}} é a carga dentro da superfície gaussiana e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana e avaliação do fluxo: escolhemos uma esfera concêntrica de raio r=0{,}40\\ \mathrm{m}. Por simetria \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre essa superfície, e d\mathbf{A} é também radial, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,dA. O fluxo fica
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\oint dA = E\,(4\pi r^{2}).
Aqui usamos que a área de uma esfera é 4\pi r^{2}.

Passo 4

Aplicando Gauss e isolando E: como toda a carga Q está na superfície da casca e a superfície gaussiana escolhida envolve toda essa carga, temos Q_{\text{int}}=Q. Assim
E\,(4\pi r^{2})=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}
e isolando E
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
Explicando as variáveis: E é o módulo do campo no ponto a distância r do centro, Q é a carga total dentro da superfície gaussiana, \varepsilon_{0} é a constante dada e r é a distância onde se calcula o campo.

Passo 5

Substituição numérica passo a passo. Primeiro as conversões e quantidades:
Q=8\\ \mu\mathrm{C}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad r=0{,}40\\ \mathrm{m}, \qquad r^{2}=(0{,}40)^{2}=0{,}16\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcula-se 4\pi\varepsilon_{0}:
4\pi\varepsilon_{0}=4\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\approx 12{,}5663706\times8{,}85\times10^{-12} \approx 1{,}11212\times10^{-10}.
Agora 4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}:
4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}\approx 1{,}11212\times10^{-10}\times0{,}16 \approx 1{,}7794\times10^{-11}.

Passo 6

Divisão final para obter E:
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{8\times10^{-6}}{1{,}7794\times10^{-11}} \approx 4{,}4967\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas), obtemos
E\approx 4{,}50\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como Q>0, o campo é radialmente para fora (saindo do centro).

Passo 7

Interpretando de forma prática (dica de prova): para qualquer casca esférica condutora com carga Q toda na superfície, para pontos externos o campo é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual Q localizada no centro. Isso economiza muito tempo na prova: basta aplicar E=Q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2}) para qualquer r>R.

Resposta

E\approx 4{,}50\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora).

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