Uma esfera maciça isolante de raio
possui carga total
distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: Na superfície da esfera. Indique também o sentido do campo elétrico.
Calcule o campo elétrico: Na superfície da esfera. Indique também o sentido do campo elétrico.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (são os dados pegados do enunciado).
- Raio da esfera:
. - Carga total da esfera:
.
O enunciado pede: calcular o campo elétrico na superfície da esfera (ou seja, em) e indicar o sentido do campo elétrico.
Passo 2
Vou usar uma ferramenta que resolve esse tipo de problema com simetria esférica: a Lei de Gauss. A Lei de Gauss escrita em forma integral é
onde:
-
é o campo elétrico; -
é o vetor área da superfície de integração (módulo igual à área infinitesimal e direção normal para fora); -
é a carga total contida dentro da superfície fechada; -
é a permissividade do vácuo ( ).
Explicando em palavras: a integral da componente normal do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga interna dividida por.
Passo 3
Por simetria esférica (a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera), o campo elétrico sobre uma superfície esférica concêntrica tem direção radial e mesmo módulo em todos os pontos dessa superfície. Então, escolhendo como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada na esfera carregada, a integral fica simples:
Aqui
é o módulo do campo na distância
do centro e
é a área da esfera de raio
. A carga encerrada
depende de
; em particular, na superfície da esfera (quando
) toda a carga
está dentro, então
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss com
:
Isolando
obtemos a fórmula que usamos para esferas esfericamente simétricas (externamente o campo é igual ao de uma carga pontual
no centro):
Aqui é importante interpretar o sinal de
: a expressão acima dá o valor algébrico associado à componente radial no sentido radial para fora. Em forma vetorial:
onde
é o versor radial apontando para fora. Como
é negativo (
),
aponta no sentido oposto a
, ou seja, radialmente para dentro (em direção ao centro).
Passo 5
Agora calculo numericamente. Vou usar
. Substituindo
e
:
(usei
para obter o módulo). Calculando passo a passo:
Em seguida
. Dividindo:
Arredondando com dois algarismos significativos:
E, como expliquei antes, o vetor campo aponta radialmente para dentro (em direção ao centro) porque a carga total é negativa.
Resposta
Sentido: radialmente para dentro (direção do centro da esfera).