Uma esfera maciça isolante de raio R=0,30 \mathrm{~m} possui carga total Q=-6 \mu \mathrm{C} distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: Na superfície da esfera. Indique também o sentido do campo elétrico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (são os dados pegados do enunciado).
  • Raio da esfera: R=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Carga total da esfera: Q=-6\\ \mu\mathrm{C} = -6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    O enunciado pede: calcular o campo elétrico na superfície da esfera (ou seja, em r=R) e indicar o sentido do campo elétrico.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta que resolve esse tipo de problema com simetria esférica: a Lei de Gauss. A Lei de Gauss escrita em forma integral é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \vec{E} é o campo elétrico;
  • d\vec{A} é o vetor área da superfície de integração (módulo igual à área infinitesimal e direção normal para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
    Explicando em palavras: a integral da componente normal do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga interna dividida por \varepsilon_0.

Passo 3

Por simetria esférica (a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera), o campo elétrico sobre uma superfície esférica concêntrica tem direção radial e mesmo módulo em todos os pontos dessa superfície. Então, escolhendo como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada na esfera carregada, a integral fica simples:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
Aqui E(r) é o módulo do campo na distância r do centro e 4\pi r^2 é a área da esfera de raio r. A carga encerrada Q_{\text{int}} depende de r; em particular, na superfície da esfera (quando r=R) toda a carga Q está dentro, então Q_{\text{int}}=Q.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss com r=R:
E(R)\cdot 4\pi R^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(R) obtemos a fórmula que usamos para esferas esfericamente simétricas (externamente o campo é igual ao de uma carga pontual Q no centro):
E(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}.
Aqui é importante interpretar o sinal de Q: a expressão acima dá o valor algébrico associado à componente radial no sentido radial para fora. Em forma vetorial:
\vec{E}(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor radial apontando para fora. Como Q é negativo ( Q<0), \vec{E} aponta no sentido oposto a \hat{r}, ou seja, radialmente para dentro (em direção ao centro).

Passo 5

Agora calculo numericamente. Vou usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Substituindo Q=-6\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e R=0,30\\ \mathrm{m}:
E(R)=k\frac{|Q|}{R^2}
(usei |Q| para obter o módulo). Calculando passo a passo:
k|Q|=(8{,}99\times10^{9})\times(6\times10^{-6})=8{,}99\times6\times10^{3}=53{,}94\times10^{3}=5{,}394\times10^{4}.
Em seguida R^2=(0,30)^2=0,09. Dividindo:
E(R)=\frac{5{,}394\times10^{4}}{0,09}=5{,}994\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com dois algarismos significativos:
E(R)\approx6{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
E, como expliquei antes, o vetor campo aponta radialmente para dentro (em direção ao centro) porque a carga total é negativa.

Resposta

E(R)=6{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
Sentido: radialmente para dentro (direção do centro da esfera).

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