Uma casca esférica condutora de raio interno ri=10 cm, raio externo re=23 cm e carga 21 nC é concêntrica a uma esfera pontual de carga 15 nC . Calcule o módulo da razão entre a densidade de carga na superfície interna ( sigmai) e a densidade de carga superfície externa ( sigmae) da casca. Ou seja, determine o valor de |sigmaisigmae|.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo necessário para resolver o problema.
Enunciado resumido: Temos uma casca esférica condutora com raio interno $ r_i = 10 , cm $ e raio externo $ r_e = 23 , cm ri = 10 , cm áóãí \sigma_i re = 23 , cm í \sigma_e $) da casca, ou seja, determinar $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $.
Conteúdo necessário:
  • Distribuição de carga em condutores: Em equilíbrio eletrostático, as cargas em um condutor se distribuem apenas nas superfícies externas e internas.
  • Lei da conservação de carga: A carga total na casca é a soma das cargas na superfície interna e na superfície externa.
  • Densidade superficial de carga ($ \sigma $): É a carga por unidade de área na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar como a carga total da casca se distribui entre as superfícies interna e externa.
Como há uma esfera pontual de carga $ Q_{pontual} = 15 , nC $ no centro, isso induz uma carga na superfície interna da casca. Pelo princípio de indução eletrostática, a carga na superfície interna será igual em módulo e oposta em sinal à carga central para manter o campo elétrico dentro do material condutor igual a zero.
Portanto:
Qpontual = 15 , nC

Passo 3

Agora, usamos a conservação de carga para encontrar a carga na superfície externa da casca ($ Q_e $).
A carga total da casca é a soma das cargas nas superfícies interna e externa:
Qe
Substituindo os valores conhecidos:
Qtotal = Qi + Qe
Resolvendo para $ Q_e $:
21 , nC = (-15 , nC) + Qe

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade superficial de carga em cada superfície. A densidade superficial de carga ($ \sigma $) é dada por:
sigma
onde $ Q $ é a carga e $ A $ é a área da superfície.
As áreas das superfícies internas e externas são:
sigma = QA
Calculando cada área:
Q
A

Passo 5

Agora, calculamos as densidades superficiais de carga:
Para a superfície interna:
sigmai = QiAi = -15 , nC400pi , cm^2
Para a superfície externa:
sigmae = QeAe = 36 , nC2116pi , cm^2

Passo 6

Queremos encontrar o módulo da razão entre $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
sigmai
Simplificando:
sigmae
Como estamos considerando o módulo, ignoramos o sinal negativo:
| sigmaisigmae | = | -15400pi362116pi |

Passo 7

Agora, vamos calcular numericamente:
| sigmaisigmae | = 15 times 2116400 times 36 = 3174014400 approx 2,20

Resposta

$ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| = 2,20 $

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