Uma casca esférica condutora de raio interno
, raio externo
e carga 21 nC é concêntrica a uma esfera pontual de carga 15 nC . Calcule o módulo da razão entre a densidade de carga na superfície interna (
) e a densidade de carga superfície externa (
) da casca. Ou seja, determine o valor de
.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo necessário para resolver o problema.
Enunciado resumido: Temos uma casca esférica condutora com raio interno $ r_i = 10 , cm $ e raio externo $ r_e = 23 , cm
\sigma_i
\sigma_e $) da casca, ou seja, determinar $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $.
Conteúdo necessário:
- Distribuição de carga em condutores: Em equilíbrio eletrostático, as cargas em um condutor se distribuem apenas nas superfícies externas e internas.
- Lei da conservação de carga: A carga total na casca é a soma das cargas na superfície interna e na superfície externa.
- Densidade superficial de carga ($ \sigma $): É a carga por unidade de área na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar como a carga total da casca se distribui entre as superfícies interna e externa.
Como há uma esfera pontual de carga $ Q_{pontual} = 15 , nC $ no centro, isso induz uma carga na superfície interna da casca. Pelo princípio de indução eletrostática, a carga na superfície interna será igual em módulo e oposta em sinal à carga central para manter o campo elétrico dentro do material condutor igual a zero.
Portanto:
Passo 3
Agora, usamos a conservação de carga para encontrar a carga na superfície externa da casca ($ Q_e $).
A carga total da casca é a soma das cargas nas superfícies interna e externa:
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para $ Q_e $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade superficial de carga em cada superfície. A densidade superficial de carga ($ \sigma $) é dada por:
onde $ Q $ é a carga e $ A $ é a área da superfície.
As áreas das superfícies internas e externas são:
Calculando cada área:
Passo 5
Agora, calculamos as densidades superficiais de carga:
Para a superfície interna:
Para a superfície externa:
Passo 6
Queremos encontrar o módulo da razão entre $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
Simplificando:
Como estamos considerando o módulo, ignoramos o sinal negativo:
Passo 7
Agora, vamos calcular numericamente:
Resposta
$ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| = 2,20 $