Considere um capacitor plano com área A e espaçamento entre as placas D e suponha que no espaço entre as placas foi inserido um dielétrico de constante dielétrica kappa, area A e largura d (o dielétrico não preenche totalmente o espaço entre as placas). Use a relação sigmap=epsilon0 E(kappa-1) para encontrar sigmap em termos de sigma.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem um capacitor de placas planas, área , distância entre as placas . Entre elas, tem um pedaço de dielétrico de constante , área e espessura (com ), então não preenche todo o espaço. Precisamos achar a densidade de carga ligada (a tal ) em termos da densidade de carga livre que fica nas placas.
Conteúdo: vamos usar as ideias de campo elétrico em dielétrico, deslocamento elétrico , polarização e a fórmula
.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico dentro do dielétrico.
  1. Num capacitor plano, a densidade de carga livre na placa é kappa,varepsilon0,Ediel ;=;sigma Longrightarrow Ediel = sigmakappa,varepsilon0 .
  2. O vetor deslocamento elétrico satisfaz áé.
  3. Como , num corte gaussiano entre as placas temos .
  4. Então, dentro do dielétrico:

Passo 3

Agora a gente usa a definição de polarização:
P = varepsilon0,(kappa - 1),Ediel
Como a interface entre dielétrico e vácuo tem normal apontando pra fora do dielétrico, a densidade de carga ligada (superficial) ali é
sigmap = Pcdotn = varepsilon0,(kappa - 1),Ediel

Passo 4

É só substituir sigmap = varepsilon0,(kappa - 1),sigmakappa,varepsilon0 = sigma,(kappa - 1)kappa na fórmula de :

Resposta

boxedsigmap = kappa - 1kappa,sigma

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