Considere um capacitor plano com área
e espaçamento entre as placas
e suponha que no espaço entre as placas foi inserido um dielétrico de constante dielétrica
, area
e largura
(o dielétrico não preenche totalmente o espaço entre as placas). Mostre que a voltagem entre as placas é
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: você tem um capacitor de placas paralelas, área A e distância entre placas D. Entre as placas entrou um pedaço de dielétrico de constante κ, mesmo área A, mas só de espessura d (com d < D), deixando o resto do espaço livre (vácuo). A meta é mostrar que a diferença de potencial entre as placas é
onde σ é a densidade de carga livre em cada placa.
Conteúdo: capacitores com dielétrico, campos elétricos em meios distintos e como somar potenciais. Vamos usar Lei de Gauss e a relação entre E, D e ε para cada região.
Conteúdo: capacitores com dielétrico, campos elétricos em meios distintos e como somar potenciais. Vamos usar Lei de Gauss e a relação entre E, D e ε para cada região.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o campo elétrico em cada pedacinho (vácuo e dielétrico).
- Região de vácuo (espessura D–d):
- Pegamos uma “caixinha” de Gauss estreita que atravessa só o vácuo.
- A carga livre por cima vale σ·A, e as paredes não contribuem.
- Pela Lei de Gauss em termos do deslocamento D (mas como não há dielétrico o D=ε₀E), a gente chega em
- Região do dielétrico (espessura d):
- Para o dielétrico, o deslocamento elétrico D satisfaz ∮D·dA = Q_livre = σA.
- Mas D=ε₀κE dentro do dielétrico. Então
Passo 3
Agora a diferença de potencial ΔV é o integral do campo ao longo da distância total:
Substituindo: