Considere um capacitor plano com área A e espaçamento entre as placas D e suponha que no espaço entre as placas foi inserido um dielétrico de constante dielétrica kappa, area A e largura d (o dielétrico não preenche totalmente o espaço entre as placas). Mostre que a voltagem entre as placas é De.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: você tem um capacitor de placas paralelas, área A e distância entre placas D. Entre as placas entrou um pedaço de dielétrico de constante κ, mesmo área A, mas só de espessura d (com d < D), deixando o resto do espaço livre (vácuo). A meta é mostrar que a diferença de potencial entre as placas é
De
onde σ é a densidade de carga livre em cada placa.
Conteúdo: capacitores com dielétrico, campos elétricos em meios distintos e como somar potenciais. Vamos usar Lei de Gauss e a relação entre E, D e ε para cada região.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico em cada pedacinho (vácuo e dielétrico).
  1. Região de vácuo (espessura D–d):
    • Pegamos uma “caixinha” de Gauss estreita que atravessa só o vácuo.
    • A carga livre por cima vale σ·A, e as paredes não contribuem.
    • Pela Lei de Gauss em termos do deslocamento D (mas como não há dielétrico o D=ε₀E), a gente chega em Erm vácuo ;=;sigmavarepsilon0á
  2. Região do dielétrico (espessura d):
    • Para o dielétrico, o deslocamento elétrico D satisfaz ∮D·dA = Q_livre = σA.
    • Mas D=ε₀κE dentro do dielétrico. Então ε0,kappa,Erm diel ;=;sigma Longrightarrow Erm diel ;=;sigmakappa,varepsilon0

Passo 3

Agora a diferença de potencial ΔV é o integral do campo ao longo da distância total:
Deá
Substituindo:
De

Resposta

boxedDe

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