Uma casca esférica condutora de raio interno ri=12 cm, raio externo re=24 cm e carga 20 nC é concêntrica a uma esfera pontual de carga 12 nC. Calcule o módulo da razão entre a densidade de carga na superfície interna ( sigmai) e a densidade de carga superfície externa ( sigmae) da casca. Ou seja, determine o valor de |sigmaisigmae|.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos uma casca esférica condutora com raio interno $ r_i = 12 , cm $, raio externo $ r_e = 24 , cm $ e carga total de $ 20 , nC $. Essa casca está concêntrica a uma esfera pontual com carga de $ 12 , nC ri = 12 , cm óãí \sigma_i re = 24 , cm í \sigma_e $) da casca, ou seja, determinar $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de cargas em condutores e a densidade de carga em superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as cargas se distribuem na casca condutora. Quando há uma carga pontual no centro de uma casca condutora, a carga interna da casca se reorganiza para neutralizar o campo elétrico dentro do material da casca. Isso significa que a superfície interna da casca vai adquirir uma carga igual e oposta à carga central para cancelá-la.
Então, a carga na superfície interna ($ Q_i $) será:
Qi
Isso garante que o campo elétrico dentro da casca condutora seja zero.

Passo 3

Agora, a carga total da casca é de $ 20 , nC $. Já que a superfície interna tem uma carga de $ -12 , nC 20 , nC í Q_e $) será a diferença:
-12 , nC

Passo 4

A densidade de carga ($ \sigma $) em uma superfície esférica é dada por:
sigma
onde $ Q $ é a carga na superfície e $ r $ é o raio correspondente.
Vamos calcular $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
Para a superfície interna:
sigma = Q4pi r^2
Para a superfície externa:
Q

Passo 5

Queremos encontrar a razão entre $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
sigmai
Substituindo os valores:
sigmae

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
| -1232 cdot 576144 | = | -1232 cdot 4 | = | -4832 | = | -1.5 | = 1.50

Resposta

O valor de $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $ é 1,50.

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