Uma casca esférica condutora de raio interno
, raio externo
e carga
é concêntrica a uma esfera pontual de carga
. Calcule o módulo da razão entre a densidade de carga na superfície interna (
) e a densidade de carga superfície externa (
) da casca. Ou seja, determine o valor de
.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos uma casca esférica condutora com raio interno $ r_i = 12 , cm $, raio externo $ r_e = 24 , cm $ e carga total de $ 20 , nC $. Essa casca está concêntrica a uma esfera pontual com carga de $ 12 , nC
\sigma_i
\sigma_e $) da casca, ou seja, determinar $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a distribuição de cargas em condutores e a densidade de carga em superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as cargas se distribuem na casca condutora. Quando há uma carga pontual no centro de uma casca condutora, a carga interna da casca se reorganiza para neutralizar o campo elétrico dentro do material da casca. Isso significa que a superfície interna da casca vai adquirir uma carga igual e oposta à carga central para cancelá-la.
Então, a carga na superfície interna ($ Q_i $) será:
Isso garante que o campo elétrico dentro da casca condutora seja zero.
Passo 3
Agora, a carga total da casca é de $ 20 , nC $. Já que a superfície interna tem uma carga de $ -12 , nC
Q_e $) será a diferença:
Passo 4
A densidade de carga ($ \sigma $) em uma superfície esférica é dada por:
onde $ Q $ é a carga na superfície e $ r $ é o raio correspondente.
Vamos calcular $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
Para a superfície interna:
Para a superfície externa:
Passo 5
Queremos encontrar a razão entre $ \sigma_i $ e $ \sigma_e $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
O valor de $ \left| \frac{\sigma_i}{\sigma_e} \right| $ é 1,50.