Este problema consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, Equação 3-5. Mostre que o valor de
para o qual
se anula satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, a questão pede para provar a lei de deslocamento de Wien (Equação 3-5), ou seja, mostrar que o máximo do espectro de radiação de corpo negro em função do comprimento de onda λ, dado por
satisfaz a condição
que leva à relação
Conteúdo: Lei de Planck, derivada de função quociente e regra da cadeia. Vamos precisar usar a regra do quociente e simplificar direitinho.
Passo 2
Escreve primeiro a função envolvida:
onde
é constante positiva (não interessa aqui). A ideia é derivar isso em relação a
e igualar a zero pra achar o ponto de máximo.
Passo 3
Para derivar, usamos a regra do quociente: se
, então
Aqui
f(λ)=λ^{-5}, g(λ)=e^{a/λ}-1.
f(λ)=λ^{-5}, g(λ)=e^{a/λ}-1.
- f’(λ)=−5λ^{−6}.
- g’(λ)=\frac{d}{dλ}(e^{a/λ}) = e^{a/λ}\cdot\frac{d}{dλ}(a/λ)
= e{a/λ}\bigl(-\tfrac{a}{λ2}\bigr).
Então
Passo 4
Montando o numerador de
:
Factor comum
:
Para
, basta zerar o colchete (pois
e
nunca são zero):
Agora multiplico ambos os lados por
:
que é a forma pedida, pois aqui “
” já carrega o fator
dentro da derivada original.
Resposta
Mostramos então que a condição
leva exatamente a
que é a expressão da Lei de Deslocamento de Wien pedida.