Este problema consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, Equação 3-5. Mostre que o valor de lambda para o qual d u / d lambda se anula satisfaz a equação 5(1-e^-a lambda)=a / lambda.

Passo 1

Beleza, a questão pede para provar a lei de deslocamento de Wien (Equação 3-5), ou seja, mostrar que o máximo do espectro de radiação de corpo negro em função do comprimento de onda λ, dado por
u(λ)propto 1lambda^5l(e^a/lambda-1r),,
satisfaz a condição 5l(1-e^-alambdar)=alambda que leva à relação
Conteúdo: Lei de Planck, derivada de função quociente e regra da cadeia. Vamos precisar usar a regra do quociente e simplificar direitinho.

Passo 2

Escreve primeiro a função envolvida:
u(λ)=A,lambda^-5e^a/lambda-1,
onde é constante positiva (não interessa aqui). A ideia é derivar isso em relação a e igualar a zero pra achar o ponto de máximo.

Passo 3

Para derivar, usamos a regra do quociente: se dudλ=f',g - f,g'g^2, então
g'(λ)=-aλ^2,e^a/λ
Aqui
f(λ)=λ^{-5}, g(λ)=e^{a/λ}-1.
  1. f’(λ)=−5λ^{−6}.
  2. g’(λ)=\frac{d}{dλ}(e^{a/λ}) = e^{a/λ}\cdot\frac{d}{dλ}(a/λ)
    = e{a/λ}\bigl(-\tfrac{a}{λ2}\bigr).
    Então

Passo 4

Montando o numerador de f',g - f,g' = (-5λ^-6)(e^a/λ-1) ;-; (λ^-5)l(-tfracaλ^2e^a/λr):
=λ^-6l[-5(e^a/λ-1) + a,e^a/λr]
Factor comum -5(e^a/λ-1) + a,e^a/λ = 0 Longrightarrow 5,(e^a/λ-1) = a,e^a/λ :
5l(1 - e^-a/λr) = aλ,,
Para , basta zerar o colchete (pois e nunca são zero):
Agora multiplico ambos os lados por :
que é a forma pedida, pois aqui “ ” já carrega o fator dentro da derivada original.

Resposta

Mostramos então que a condição 5l(1 - e^-alambdar) = alambda, leva exatamente a
que é a expressão da Lei de Deslocamento de Wien pedida.

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