Uma casca esférica dielétrica possui raio interno a , raio externo b e carga total Q . Determine o comportamento do campo elétrico em todo espaço.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica dielétrica com raio interno
, raio externo
e carga total
. Pede-se o comportamento do campo elétrico em todo o espaço — isto é, encontrar
para as três regiões radiais:
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Carga total no material da casca:
. - A casca é dielétrica (assumir dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, com permitividade
). - Pressuposição necessária (implicada pelo enunciado): a carga
é distribuída volumetricamente e uniformemente no volume do dielétrico entre e . (Sem essa hipótese não há informação suficiente para obter um campo único.)
O que vou entregar ao final: expressões de
nas três regiões, com indicação da direção radial (sinal conforme
positivo para campo para fora).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando a teoria necessária de forma didática e simples).
- Pela simetria esférica é natural aplicar a Lei de Gauss. Em presença de dielétrico é conveniente trabalhar com o campo deslocamento elétrico
, que satisfaz a forma integral da Lei de Gauss para cargas livres:
onde
é a carga livre total delimitada pela superfície fechada
.
- Para um dielétrico linear homogêneo vale a relação direta entre
e :
onde
é a permitividade do material. Fora do dielétrico (no vácuo) usamos
.
- Porque a situação é esfericamente simétrica:
e são radiais e dependem só de . Assim, escolher uma superfície gaussiana esférica de raio torna o cálculo direto:
Explicando em palavras: primeiro calculamos a carga livre contida dentro da esfera de raio
. Com isso temos
pela Lei de Gauss para
. Em seguida obtemos
usando
na região do dielétrico ou
no espaço livre.
Passo 3
Calcular a densidade volumétrica de carga livre
(assumimos distribuição volumétrica uniforme entre
e
).
O volume da casca é
Logo a densidade volumétrica uniforme é
Aqui
tem unidades de carga por volume e é definida somente para
.
Passo 4
Região
(interior do vazio/cavidade).
- Uma superfície esférica de raio
não engloba nenhuma carga livre (todo está na casca ). Portanto
- Aplicando a Lei de Gauss para
:
- Como
do vazio no interior da cavidade é , segue
Interpretação: dentro da cavidade (centro até
) o campo elétrico é nulo (se
é distribuído apenas na casca).
Passo 5
Região
(dentro do material dielétrico, entre os raios).
- Calcular a carga livre contida até uma esfera de raio
com . O volume entre e é . Assim
- Pela Lei de Gauss para
(campo radial),
- Agora obter
dentro do dielétrico usando (com ):
- Podemos escrever de forma um pouco mais limpa:
Comentário pedagógico: a razão
é a fração da carga total
que está contida até o raio
. O fator
aparece porque o fluxo de
atravessa a esfera de área
.
Passo 6
Região
(fora da casca, espaço livre).
- Uma superfície esférica de raio
engloba toda a carga livre . Então
- Lei de Gauss para
:
- Fora do dielétrico o meio é o vácuo (permitividade
), portanto
Interpretação simples: visto de fora, a casca comporta-se como uma carga pontual
no centro, com o campo decaindo como
.
Passo 7
Verificações de continuidade e comentários físicos (ajuda para entender o resultado na prova).
-
Continuidade de
na normal às superfícies sem carga livre de superfície: nas superfícies e não existe carga livre localizada exatamente na superfície (a carga está volumetricamente distribuída), logo a componente radial de é contínua. De fato: - Em
(dentro da cavidade) temos . - Em
(dentro do dielétrico), , logo . Assim é contínuo em . - Em
tem-se e em também . Logo é contínuo em .
- Em
-
A componente normal de
pode ser descontínua nas superfícies porque e muda (dielétrico vs vácuo ). Em particular em : portanto. Esse salto está relacionado às cargas ligadas (bound charges) na superfície do dielétrico. -
Limite físico: se
(sem dielétrico) as expressões internas coincidem com as externas; se a densidade fosse concentrada em superfícies, o cálculo mudaria (por isso foi necessário assumir distribuição volumétrica uniforme).
Passo 8
Resumo final das expressões encontradas (sem dedução agora, só para consulta rápida).
- Para
: . - Para
: . - Para
: .