Uma casca esférica dielétrica possui raio interno a , raio externo b e carga total Q . Determine o comportamento do campo elétrico em todo espaço.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica dielétrica com raio interno a, raio externo b e carga total Q. Pede-se o comportamento do campo elétrico em todo o espaço — isto é, encontrar \mathbf{E}(r) para as três regiões radiais: r<a, a<r<b e r>b.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio interno: a.
  • Raio externo: b.
  • Carga total no material da casca: Q.
  • A casca é dielétrica (assumir dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, com permitividade \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r).
  • Pressuposição necessária (implicada pelo enunciado): a carga Q é distribuída volumetricamente e uniformemente no volume do dielétrico entre r=a e r=b. (Sem essa hipótese não há informação suficiente para obter um campo único.)
O que vou entregar ao final: expressões de \mathbf{E}(r) nas três regiões, com indicação da direção radial (sinal conforme Q positivo para campo para fora).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando a teoria necessária de forma didática e simples).
  • Pela simetria esférica é natural aplicar a Lei de Gauss. Em presença de dielétrico é conveniente trabalhar com o campo deslocamento elétrico \mathbf{D}, que satisfaz a forma integral da Lei de Gauss para cargas livres:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{livre, dentro}},
onde Q_{\text{livre, dentro}} é a carga livre total delimitada pela superfície fechada \mathcal{S}.
  • Para um dielétrico linear homogêneo vale a relação direta entre \mathbf{D} e \mathbf{E}:
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},
onde \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r é a permitividade do material. Fora do dielétrico (no vácuo) usamos \varepsilon_0.
  • Porque a situação é esfericamente simétrica: \mathbf{D} e \mathbf{E} são radiais e dependem só de r. Assim, escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r torna o cálculo direto:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = D(r)\cdot 4\pi r^2 = Q_{\text{livre, dentro}}(r).
Explicando em palavras: primeiro calculamos a carga livre contida dentro da esfera de raio r. Com isso temos D(r) pela Lei de Gauss para \mathbf{D}. Em seguida obtemos \mathbf{E}(r) usando \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon na região do dielétrico ou \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_0 no espaço livre.

Passo 3

Calcular a densidade volumétrica de carga livre \rho (assumimos distribuição volumétrica uniforme entre a e b).
O volume da casca é
V_{\text{casca}} = \tfrac{4}{3}\pi\bigl(b^3-a^3\bigr).
Logo a densidade volumétrica uniforme é
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi\bigl(b^3-a^3\bigr)}.
Aqui \rho tem unidades de carga por volume e é definida somente para a<r<b.

Passo 4

Região r<a (interior do vazio/cavidade).
  • Uma superfície esférica de raio r<a não engloba nenhuma carga livre (todo Q está na casca a<r<b). Portanto
Q_{\text{livre, dentro}}(r)=0 \quad\text{para } r<a.
  • Aplicando a Lei de Gauss para \mathbf{D}:
D(r)\,4\pi r^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad D(r)=0.
  • Como \varepsilon do vazio no interior da cavidade é \varepsilon_0, segue
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\varepsilon_0}=0.
Interpretação: dentro da cavidade (centro até r=a) o campo elétrico é nulo (se Q é distribuído apenas na casca).

Passo 5

Região a<r<b (dentro do material dielétrico, entre os raios).
  • Calcular a carga livre contida até uma esfera de raio r com a<r<b. O volume entre a e r é \tfrac{4}{3}\pi(r^3-a^3). Assim
Q_{\text{livre, dentro}}(r) = \rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr) = Q\cdot\frac{r^3-a^3}{b^3-a^3}.
  • Pela Lei de Gauss para \mathbf{D} (campo radial),
D(r)\,4\pi r^2 = Q_{\text{livre, dentro}}(r) \quad\Rightarrow\quad D(r) = \frac{1}{4\pi r^2}\,Q\cdot\frac{r^3-a^3}{b^3-a^3}.
  • Agora obter \mathbf{E} dentro do dielétrico usando \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon (com \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r):
\mathbf{E}(r) = \frac{1}{\varepsilon}\,\frac{Q}{4\pi r^2}\,\frac{r^3-a^3}{b^3-a^3}\,\hat r.
  • Podemos escrever de forma um pouco mais limpa:
\mathbf{E}(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\,\frac{r^3-a^3}{(b^3-a^3)\,r^2}\,\hat r, \qquad a<r<b.
Comentário pedagógico: a razão (r^3-a^3)/(b^3-a^3) é a fração da carga total Q que está contida até o raio r. O fator 1/r^2 aparece porque o fluxo de \mathbf{D} atravessa a esfera de área 4\pi r^2.

Passo 6

Região r>b (fora da casca, espaço livre).
  • Uma superfície esférica de raio r>b engloba toda a carga livre Q. Então
Q_{\text{livre, dentro}}(r)=Q.
  • Lei de Gauss para \mathbf{D}:
D(r)\,4\pi r^2 = Q \quad\Rightarrow\quad D(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}.
  • Fora do dielétrico o meio é o vácuo (permitividade \varepsilon_0), portanto
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat r, \qquad r>b.
Interpretação simples: visto de fora, a casca comporta-se como uma carga pontual Q no centro, com o campo decaindo como 1/r^2.

Passo 7

Verificações de continuidade e comentários físicos (ajuda para entender o resultado na prova).
  • Continuidade de \mathbf{D} na normal às superfícies sem carga livre de superfície: nas superfícies r=a e r=b não existe carga livre localizada exatamente na superfície (a carga está volumetricamente distribuída), logo a componente radial de \mathbf{D} é contínua. De fato:
    • Em r\to a^- (dentro da cavidade) temos D=0.
    • Em r\to a^+ (dentro do dielétrico), Q_{\text{livre, dentro}}(r)\propto (r^3-a^3)\to 0, logo D(a^+)=0. Assim D é contínuo em r=a.
    • Em r\to b^- tem-se D(b^-)=Q/(4\pi b^2) e em r\to b^+ também D(b^+)=Q/(4\pi b^2). Logo D é contínuo em r=b.
  • A componente normal de \mathbf{E} pode ser descontínua nas superfícies porque \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon e \varepsilon muda (dielétrico \varepsilon vs vácuo \varepsilon_0). Em particular em r=b:
    E(b^-)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon b^2},\qquad E(b^+)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b^2},
    portanto E(b^+) = \varepsilon_r\,E(b^-). Esse salto está relacionado às cargas ligadas (bound charges) na superfície do dielétrico.
  • Limite físico: se \varepsilon_r\to 1 (sem dielétrico) as expressões internas coincidem com as externas; se a densidade fosse concentrada em superfícies, o cálculo mudaria (por isso foi necessário assumir distribuição volumétrica uniforme).

Passo 8

Resumo final das expressões encontradas (sem dedução agora, só para consulta rápida).
  • Para r<a: \mathbf{E}(r)=0.
  • Para a<r<b: \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\,\frac{r^3-a^3}{(b^3-a^3)\,r^2}\,\hat r.
  • Para r>b: \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat r.

Resposta

\mathbf{E}(r)=0 para r<a
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\,\frac{r^3-a^3}{(b^3-a^3)\,r^2}\,\hat r para a<r<b
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat r para r>b

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