Uma casca esférica isolante, com um raio interno de e um raio externo de , possui uma distribuição de carga não uniforme. A densidade volumétrica de carga , cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. No caso dessa casca, , em que é a distância em metros a partir do centro da casca e . Qual é a carga total da casca? Se a distribuição fosse uniforme quanto seria a densidade volumétrica de cargas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma casca esférica isolante com raio interno de 4,0 cm e externo de 6,0 cm. A distribuição de carga nessa casca não é uniforme e é dada por , onde é a distância do centro em metros e . Nosso objetivo aqui é encontrar a carga total da casca. Além disso, vamos descobrir qual seria a densidade de carga se a distribuição fosse uniforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga em volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades dos raios de centímetros para metros, porque o está em . Então:
Raio interno:
Raio externo:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa . Essa equação nos diz que a densidade de carga depende da distância do centro. Quanto mais longe do centro, menor será a densidade de carga.
Passo 4
Para encontrar a carga total na casca, precisamos integrar a densidade de carga sobre todo o volume da casca. A fórmula geral para a carga total é:
Como estamos lidando com uma distribuição esférica, vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Substituindo o valor de b = 3,0 , muC/m^2 = 3,0 times 10^-6 , C/m^2:
Q = 2pi times 3,0 times 10^-6 times 0,0020
Q = 2pi times 6,0 times 10^-9
Q = 12pi times 10^-9 , C
Passo 10
Calculando numérica:
Q approx 12 times 3,1416 times 10^-9 approx 37,7 times 10^-9 , C = 3,77 times 10^-8 , C
Passo 11
Agora, se a distribuição de carga fosse uniforme, a densidade de carga rhouniforme seria constante em todo o volume da casca. Nesse caso, a carga total Q também seria:
Sabemos que Q = 3,77 times 10^-8 , C e V approx 0,000202 , m^3. Então, a densidade uniforme seria:
rhouniforme = QV = 3,77 times 10^-80,000202 approx 1,866 times 10^-4 , C/m^3
Resposta
A carga total da casca é aproximadamente 3,77 times 10^-8 , C. Se a distribuição de carga fosse uniforme, a densidade volumétrica de cargas seria aproximadamente 1,87 times 10^-4 , C/m^3.