Uma casca esférica isolante, com um raio interno de 4,0 cm e um raio externo de 6,0 cm, possui uma distribuição de carga não uniforme. A densidade volumétrica de carga rho, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. No caso dessa casca, rho=b / r, em que r é a distância em metros a partir do centro da casca e b=3,0 mu C / m^2. Qual é a carga total da casca? Se a distribuição fosse uniforme quanto seria a densidade volumétrica de cargas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma casca esférica isolante com raio interno de 4,0 cm e externo de 6,0 cm. A distribuição de carga nessa casca não é uniforme e é dada por rho = br, onde r é a distância do centro em metros e b = 3,0 , muC/m^2. Nosso objetivo aqui é encontrar a carga total da casca. Além disso, vamos descobrir qual seria a densidade de carga se a distribuição fosse uniforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga em volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades dos raios de centímetros para metros, porque o b está em muC/m^2. Então:
  • Raio interno: 4,0 , cm = 0,04 , m
  • Raio externo: 6,0 , cm = 0,06 , m

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa rho = br. Essa equação nos diz que a densidade de carga rho depende da distância r do centro. Quanto mais longe do centro, menor será a densidade de carga.

Passo 4

Para encontrar a carga total Q na casca, precisamos integrar a densidade de carga rho sobre todo o volume da casca. A fórmula geral para a carga total é:
Q = integral rho , dV
Como estamos lidando com uma distribuição esférica, vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, um elemento de volume dV é dado por:
dV = 4pi r^2 dr
Portanto, a carga total Q será:
Q = integralrin^rout br cdot 4pi r^2 dr

Passo 6

Simplificando a integral:
Q = 4pi b integral0,04^0,06 r , dr
Aqui, cancelamos um r no numerador e denominador.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral r , dr = 12 r^2
Então:
Q = 4pi b [ 12 r^2 ]0,04^0,06 = 2pi b ( r^2 g|0,04^0,06 )

Passo 8

Calculando os limites:
r^2 g|0,04^0,06 = (0,06)^2 - (0,04)^2 = 0,0036 - 0,0016 = 0,0020 , m^2
Então:
Q = 2pi b times 0,0020

Passo 9

Substituindo o valor de b = 3,0 , muC/m^2 = 3,0 times 10^-6 , C/m^2:
Q = 2pi times 3,0 times 10^-6 times 0,0020
Q = 2pi times 6,0 times 10^-9
Q = 12pi times 10^-9 , C

Passo 10

Calculando numérica:
Q approx 12 times 3,1416 times 10^-9 approx 37,7 times 10^-9 , C = 3,77 times 10^-8 , C

Passo 11

Agora, se a distribuição de carga fosse uniforme, a densidade de carga rhouniforme seria constante em todo o volume da casca. Nesse caso, a carga total Q também seria:
Q = rhouniforme times V
Onde V é o volume da casca esférica.

Passo 12

Calculando o volume V da casca:
V = 43pi ( rout^3 - rin^3 )
Substituindo os valores:
V = 43pi ( (0,06)^3 - (0,04)^3 ) = 43pi (0,000216 - 0,000064) = 43pi (0,000152) approx 0,000202 , m^3

Passo 13

Sabemos que Q = 3,77 times 10^-8 , C e V approx 0,000202 , m^3. Então, a densidade uniforme seria:
rhouniforme = QV = 3,77 times 10^-80,000202 approx 1,866 times 10^-4 , C/m^3

Resposta

A carga total da casca é aproximadamente 3,77 times 10^-8 , C. Se a distribuição de carga fosse uniforme, a densidade volumétrica de cargas seria aproximadamente 1,87 times 10^-4 , C/m^3.

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