Um pêndulo simples é formado por um fio de comprimento L=0,25 m e uma massa igual a 1,00 kg. No instante t=0 o pênduio forma um ângulo de 0 , 2 5 rad e possuil velocidade angular de 2,71 rad / s.
a) (0,5) Determine o período do MHS para este sistema.
b) (1,0) Escreva a função da posição angular theta(t).
c) (0,5) Faça um gráfico da posição versus tempo para este sistema, para um período.
d) (0,5) Qual é a energia mecânica total deste sistema?

Passo 1

Beleza, mano! Temos um pêndulo simples com massa m=1,00 kg e comprimento L=0,25 m, que no instante t=0 está em θ(0)=0,25 rad e com velocidade angular θ̇(0)=2,71 rad/s. Isso é tópico de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente vai usar a constante g=9,8 m/s², a fórmula do período, a solução geral θ(t)=A cos(ω₀t)+B sin(ω₀t) e a energia mecânica (cinética+potencial).

Passo 2

O período do MHS do pêndulo é
T = 2piraizLg,
Substituindo L=0,25 m e g=9,8 m/s²:
raiz0,259,8approx0,1597 s,
logo
T = 2pitimes0,1597approx1,00 s,

Passo 3

A solução geral é
theta(t)=Acos(omega0,t)+Bsin(omega0,t), omega0=raiztfracgL,
Calculando
omega0=raiztfrac9,80,25approx6,26 rad/s
Em t=0 temos
– θ(0)=A=0,25 rad
– θ̇(0)=B·ω₀=2,71 ⇒ B=2,71/6,26≈0,433
Logo
theta(t)=0,25cos(6,26,t)+0,433sin(6,26,t)[rad]

Passo 4

O gráfico de θ versus t é uma senóide de amplitude √(0,25²+0,433²)≈0,50 rad e período 1,00 s. Ela parte de 0,25 rad em t=0, atinge +0,50 rad em t≈0,17 s, cruza zero em t≈0,33 s, vai a –0,50 rad em t=0,50 s e volta a 0,25 rad em t=1,00 s.

Passo 5

A energia mecânica total (sem atrito) é
E=12,mL^2dottheta(0)^2+mgLl(1-costheta(0)r)
Calculando:
K = ½·1·0,25²·2,71²≈0,231 J
U = 1·9,8·0,25·(1−cos0,25)≈2,45·0,0311≈0,076 J
Logo
Eapprox0,231+0,076approx0,31 J

Resposta

T≈1,00 s
θ(t)=0,25 cos(6,26 t)+0,433 sin(6,26 t) rad
Gráfico: senóide de amplitude 0,50 rad e período 1,00 s (descrito acima)
E≈0,31 J

Exercícios relacionados