Um pêndulo simples é formado por um fio de comprimento
e uma massa igual a
. No instante
o pênduio forma um ângulo de
possuil velocidade angular de
.
a)
Determine o período do MHS para este sistema.
b)
Escreva a função da posição angular
.
c)
Faça um gráfico da posição versus tempo para este sistema, para um período.
d)
Qual é a energia mecânica total deste sistema?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, mano! Temos um pêndulo simples com massa m=1,00 kg e comprimento L=0,25 m, que no instante t=0 está em θ(0)=0,25 rad e com velocidade angular θ̇(0)=2,71 rad/s. Isso é tópico de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente vai usar a constante g=9,8 m/s², a fórmula do período, a solução geral θ(t)=A cos(ω₀t)+B sin(ω₀t) e a energia mecânica (cinética+potencial).
Passo 2
O período do MHS do pêndulo é
Substituindo L=0,25 m e g=9,8 m/s²:
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Passo 3
A solução geral é
Calculando
Em t=0 temos
– θ(0)=A=0,25 rad
– θ̇(0)=B·ω₀=2,71 ⇒ B=2,71/6,26≈0,433
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– θ(0)=A=0,25 rad
– θ̇(0)=B·ω₀=2,71 ⇒ B=2,71/6,26≈0,433
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Passo 4
O gráfico de θ versus t é uma senóide de amplitude √(0,25²+0,433²)≈0,50 rad e período 1,00 s. Ela parte de 0,25 rad em t=0, atinge +0,50 rad em t≈0,17 s, cruza zero em t≈0,33 s, vai a –0,50 rad em t=0,50 s e volta a 0,25 rad em t=1,00 s.
Passo 5
A energia mecânica total (sem atrito) é
Calculando:
K = ½·1·0,25²·2,71²≈0,231 J
U = 1·9,8·0,25·(1−cos0,25)≈2,45·0,0311≈0,076 J
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K = ½·1·0,25²·2,71²≈0,231 J
U = 1·9,8·0,25·(1−cos0,25)≈2,45·0,0311≈0,076 J
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Resposta
T≈1,00 s
θ(t)=0,25 cos(6,26 t)+0,433 sin(6,26 t) rad
Gráfico: senóide de amplitude 0,50 rad e período 1,00 s (descrito acima)
E≈0,31 J
θ(t)=0,25 cos(6,26 t)+0,433 sin(6,26 t) rad
Gráfico: senóide de amplitude 0,50 rad e período 1,00 s (descrito acima)
E≈0,31 J