Uma força externa variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônico forçado com amortecimento. A freqüência natural do oscilador é omega0=25,0 rad / s e a massa da particula é m=0,40 kg. A força externa tem módulo de F0=15,0 N e o fator de amortecimento é igual a gamma=4,00 rad / s.
a) (0,5) Considere que a frequência angular da força externa seja 22,0 rad / s. Escreva a função posição x(t).
b) ( 1,0 ) Esboce o gráfico de ressonância para este sistema (a frequência da força externa agora varia), em escala,-indicando, a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências ( omega 0 ), a meia largura e a frequência de ressonância.
c) (1,0) Calcule a amplitude máximà, a amplitude de baixas frequências ( omega 0 ), a meia largura e o fator de qualidade na ressonância.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico com amortecimento forçado por uma força externa senoidal. Temos massa m, frequência natural omega0, coeficiente de amortecimento por unidade de massa gamma e força externa de amplitude F0 e frequência omega. A equação de movimento no regime estacionário é
ddot x + gammadot x + omega0^2x = F0mcos(omega t)
Para resolver precisamos da solução estacionária do tipo
x(t)=A(omega),cosl(omega t-de<a(omega)r),
onde A(omega) e de<a(omega) dependem de omega, omega0, gamma, m e F0.

Passo 2

No regime estacionário a amplitude A e o defasagem de<a satisfazem
A(omega)=F0/mraizl(omega0^2-omega^2r)^2+(gamma,omega)^2, de<a(omega)=arctan!gl(gamma,omegaomega0^2-omega^2gr)

Passo 3

Para omega=22,0 rad/s temos F0/m=15,0/0,40=37,5. Calcula-se
omega0^2-omega^2=25^2-22^2=625-484=141, gamma,omega=4,00times22=88,
A(22)=37,5raiz141^2+88^2 =37,5raiz19881+7744 =37,5166,20approx0,225 m,
de<a(22)=arctan!gl(88141gr)approx0,560 rad
Logo a solução estacionária é
x(t)=0,225cosl(22,t-0,560r) m

Passo 4

Ao variar omega traçamos a curva de ressonância A(omega) versus omega. É um “sino” centrado em
omegar=raizomega0^2-gamma^22 =raiz625-8approx24,84 rad/s
No gráfico devem ser indicados:
  1. a amplitude em baixas frequências ( omegato0),
  2. a amplitude máxima A(omegar),
  3. a largura à meia-altura De<aomega, que para amortecimento leve vale gamma,
  4. a frequência de pico omegar.

Passo 5

Calculamos:
– Amplitude em baixas frequências ( omegato0):
A(0)=F0/momega0^2 =37,5625=0,060 m
– Amplitude máxima em omegar:
Amax=A(omegar)approxF0/mgamma,omegar =37,54,00times24,84approx0,377 m
– Meia largura à meia-altura:
De<aomega=gamma=4,00 rad/s
– Fator de qualidade na ressonância:
Q=omegarDe<aomegaapprox24,844,00approx6,21approx6,25 (usando omega0/gamma)

Resposta

a) x(t)=0,225cosl(22,t-0,560r) m
b) Gráfico de A(omega) em forma de sino centrado em omegarapprox24,84, com A(0)=0,060, Amax=0,377, largura De<aomega=4.
c) Amax=0,377 m, A(0)=0,060 m, De<aomega=4,00 rad/s, Qapprox6,25

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