Questão 1_Eng Civil e de Produção) Uma cadeira de rodas com ocupante tem massa total \mathrm{m}=80 \mathrm{kgm}. A rampa de 15 m faz um ângulo \theta=8^{\circ} com a horizontal. Considere \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Desconsidere a resistência ao rolamento. Qual a força horizontal-paralela à rampa F que uma pessoa precisa aplicar para empurrar a cadeira com velocidade constante (isto é, sem aceleração)?
Monte o diagrama do Corpo Livre.

Passo 1

O enunciado pede encontrar a força aplicada paralela à rampa F necessária para empurrar a cadeira com velocidade constante (ou seja, sem aceleração) numa rampa de comprimento 15\\ \mathrm{m} que faz ângulo \theta=8^\circ com a horizontal. Dados fornecidos:
m=80\\ \mathrm{kg},\qquad \theta=8^\circ,\qquad g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
Pergunta direta: qual o valor da força F (paralela à rampa) que mantém velocidade constante? Também é pedido montar o diagrama de corpo livre.

Passo 2

Diagrama do Corpo Livre (descrição clara, como desenhar na prova):
  • Desenhe a cadeira como um ponto ou retângulo apoiado na superfície inclinada.
  • Marque a rampa inclinada a \theta=8^\circ.
  • Forças aplicadas sobre o corpo:
    • Peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando vertical para baixo; em notação: \vec{P}=m g (para baixo).
    • Força aplicada pelo empurrador: \vec{F} paralela à rampa, apontando para cima ao longo da rampa (sentido que compensa a componente do peso).
    • Reação normal: \vec{N} perpendicular à superfície da rampa, apontando para fora da rampa (perpendicular).
  • Não há resistência ao rolamento (enunciado pede desprezar), e como a velocidade é constante, não há força resultante na direção do movimento.

Passo 3

Escolha de eixos (padrão útil para rampas):
  • Eixo x: paralelo à rampa (positiva para cima da rampa).
  • Eixo y: perpendicular à rampa (positiva para fora da rampa).
    Essa escolha simplifica porque a normal fica apenas no eixo y e a força que interessa ( F) fica ao longo do eixo x.

Passo 4

Decomposição do peso em componentes relativas aos eixos escolhidos:
  • A magnitude do peso é \;mg\; (apontando para baixo).
  • Com relação aos eixos inclinados:
    • Componente do peso paralela à rampa (sentido descendo a rampa): \;mg\sin\theta\;.
    • Componente do peso perpendicular à rampa (empurrando sobre a rampa): \;mg\cos\theta\;.
      Explicação rápida do porquê: num triângulo retângulo formado pela direção do peso e os eixos inclinados, o ângulo entre peso e componente perpendicular é \theta; assim a componente paralela usa \sin\theta e a perpendicular usa \cos\theta.

Passo 5

Equações de equilíbrio (porque velocidade constante implica aceleração zero):
  • Soma das forças no eixo y (perpendicular): \sum F_y = 0 \Rightarrow N - mg\cos\theta = 0. Logo
N = mg\cos\theta.
(Isto serve só para completar o diagrama; não precisamos de N para achar F, mas é bom saber.)

Passo 6

Equação no eixo x (paralelo à rampa):
  • Forças no eixo x: F para cima da rampa e mg\sin\theta para baixo da rampa.
  • Como aceleração é zero:
\sum F_x = 0 \Rightarrow F - mg\sin\theta = 0.
Logo
F = mg\sin\theta.
Aqui \;m é a massa ( \mathrm{kg}), \;g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}) e \theta é o ângulo da rampa.

Passo 7

Substituição dos valores numéricos e cálculo:
F = m g \sin\theta = 80\cdot 9,81 \cdot \sin(8^\circ).
Calcule \sin(8^\circ). Usando uma calculadora ou tabela trigonométrica obtém-se aproximadamente \sin(8^\circ)\approx 0,1391731. Então
F \approx 80\cdot 9,81\cdot 0,1391731.
Calcule em etapas:
80\cdot 9,81 = 784,8,
784,8\cdot 0,1391731 \approx 109,25.

Passo 8

Interpretação e sinalização: o valor positivo indica que a pessoa precisa aplicar uma força para cima da rampa de aproximadamente 109,25\\ \mathrm{N} para manter a velocidade constante. Se a pessoa empurrasse no sentido oposto, a magnitude seria a mesma mas o sentido invertido.

Resposta

F \approx 109,25\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados