Uma casca esférica não condutora de raio interno a1 e raio externo b1 é uniformemente carregada com densidade de carga rho1 dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno a2 e raio externo 2 que também é uniformemente carregada com densidade de carga rho2. Encontre o campo elétrico no ponto P a uma distância r do centro comum tal que a1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas cascas esféricas não condutoras concêntricas:
  • A casca interna vai de raio a1 < r < b1 até e tem densidade de carga .
  • A casca externa vai de raio até e tem densidade de carga .
Queremos o campo elétrico no ponto que está a uma distância do centro, com
O conteúdo é Lei de Gauss em simetria esférica. A gente vai precisar:
  1. Escolher uma superfície gaussiana esférica de raio .
  2. Calcular a carga total que fica dentro dessa esfera.
  3. Aplicar a Lei de Gauss para achar .

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Gauss:
ointsuperfície Ecdot dA = Qintvarepsilon0 í
Como é esfericamente simétrico, E(r),l(4pi r^2r) = Qintvarepsilon0 tem só componente radial e é constante em módulo na nossa superfície de raio . Então

Passo 3

Agora precisamos do Qint = rho1 times l[volume de uma casca de a1 até rr] = rho1 , 4pi3l(r^3 - a1^3r) , ou seja, a carga que está dentro do raio .
  • A casca externa ( , entre e ) ainda não apareceu porque . Então ela não contribui, pois está completamente fora da superfície.
  • A única carga dentro é a da casca interna, mas só até o raio .
O volume ocupado pela carga interna até é a região entre e . Logo:
é

Passo 4

Substituindo em Gauss:
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0;rho1 ,4pi3l(r^3 - a1^3r)
Simplificando E(r),r^2 = rho13varepsilon0l(r^3 - a1^3r) Longrightarrow E(r) = rho13varepsilon0;r^3 - a1^3r^2 dos dois lados, vem:

Resposta

boxedE(r) = rho13varepsilon0,r^3 - a1^3r^2, a1

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