Uma casca esférica possui uma distribuição uniforme de carga; (a) utilize a lei de Gauss para demonstrar, utilizando as condições de simetria, que o campo no interior da casca é nulo quando a casca é metálica ou não; (b) demonstre também que o campo no exterior da casca pode ser calculado, considerando a carga total como se fosse concentrada no centro da casca.
Passo 1
O problema pede duas coisas claras: (a) mostrar que o campo elétrico no interior de uma casca esférica com distribuição uniforme de carga é nulo, tanto se a casca for metálica quanto se for não metálica; (b) mostrar que, no exterior da casca, o campo elétrico é igual ao campo que seria produzido por uma carga total
concentrada no centro da casca.\n\nInformações que o enunciado dá e que vou usar: \n- A casca é esférica e possui uma distribuição uniforme de carga. Vou chamar a carga total de
e o raio da casca de
.\n- Trata-se de uma casca (forma usual: carga localizada na superfície esférica de raio
,).\n- Quero o campo em dois regimes: para pontos com distância radial
(interior) e para pontos com
(exterior).\n- Vou usar a lei de Gauss e as condições de simetria (a casca é perfeitamente esférica e a distribuição é uniforme). \n\nNada mais será assumido além disso; agora vou explicar passo a passo como aplicar Gauss e a simetria para concluir (a) e (b).
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: a lei de Gauss. Vou escrevê-la e explicar cada peça dela.\n
\nExplicação dos símbolos:\n-
é o campo elétrico no ponto da superfície fechada
.\n-
é o vetor área infinitesimal da superfície
; sua direção é normal à superfície apontando para fora e seu módulo é a área do elemento.\n-
indica a integral de superfície fechada: somamos
sobre toda a superfície fechada
.\n-
é a carga total contida dentro da superfície fechada
.\n-
é a permissividade do vácuo (uma constante).\n\nInterpretação rápida e intuitiva: a soma (integral) do fluxo do campo elétrico que sai de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dela. Essa relação vale sempre, independentemente da forma da superfície — desde que a integral seja feita corretamente.
Passo 3
Argumento de simetria: por que escolher uma superfície gaussiana esférica centrada na casca?\n- A casca é esférica e a distribuição de carga é uniforme. Isso significa que o problema é invariante por rotações em torno do centro: não há direção especial.\n- Consequência prática: o campo elétrico só pode depender da distância radial
ao centro e deve ser radial (ou seja, paralelo ao vetor unitário radial
). Se existisse uma componente não-radial, a rotação da casca mudaria a direção dessa componente, o que violaria a simetria.\n- Portanto, para um ponto a uma distância
do centro,
tem a forma
, onde
é um escalar que depende só de
.\n\nDado isso, é natural escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada na casca. Nessa esfera: \n-
tem a mesma magnitude em todo ponto da superfície (pois depende só de
).\n-
é paralelo a
em cada ponto (ambos são radiais).\nAssim a integral de superfície simplifica muito, como vou mostrar.
Passo 4
Aplicação de Gauss para pontos no interior da casca:
.\n- Escolho a superfície gaussiana
como a esfera de raio
(com
), centrada no mesmo centro da casca.\n- Pelo raciocínio de simetria,
sobre toda a superfície e
é paralelo a
. Então\n
\n- Agora, qual é
? A esfera gaussiana de raio
não envolve nenhuma carga, porque toda a carga da casca está localizada na superfície esférica de raio
(fora da esfera de raio
). Logo\n
\n- Pela lei de Gauss:\n
\n- Portanto\n
\nIsto mostra, com cálculo direto, que o campo elétrico no interior da casca é nulo.\n\nComentário sobre o caso metálico: se a casca for um condutor em equilíbrio eletrostático, outro argumento físico (além de Gauss) é o seguinte — cargas livres se redistribuem até que o campo elétrico no interior do material condutor seja zero; senão, cargas continuariam a mover-se. Isso é consistente com o resultado obtido por Gauss. Mas note: Gauss já provê o resultado independente de ser metálica ou não, desde que a carga esteja toda na superfície de raio
.
Passo 5
Aplicação de Gauss para pontos no exterior da casca:
.\n- Agora escolho a superfície gaussiana
como a esfera de raio
(com
), centrada na casca.\n- Pelo mesmo raciocínio de simetria, a integral de fluxo é\n
\n- Desta vez a esfera gaussiana inclui toda a casca, então a carga interna é a carga total da casca:\n
\n- Aplicando a lei de Gauss:\n
\n- Isolando
:\n
\n- Em forma vetorial, com direção radial (saindo se
, entrando se
):\n
Passo 6
Interpretação física conectando ao enunciado (campo equivalente a uma carga concentrada no centro).\n- A expressão
é exatamente a lei de Coulomb para o campo produzido por uma carga pontual
situada na origem (centro da esfera).\n- Portanto, para qualquer ponto externo (
), o campo da casca esférica é idêntico ao campo de uma carga pontual
colocada no centro da casca. Isso responde a parte (b) do enunciado.\n\nObservação útil (opcional, mas muito comum em provas): se a densidade superficial for
(carga por área), então
. Substituindo em
para
obtém-se\n
Também é comum verificar o comportamento na superfície:
e
. A descontinuidade normal do campo é
, o que é consistente com a condição de salto de campo em presença de carga superficial
.
Passo 7
Resumo final do raciocínio em linguagem de prova (curto e objetivo), para você usar na hora da avaliação:\n- Pelo princípio de simetria, escolher esfera gaussiana centrada na casca permite tirar
da integral.\n- Para
a carga interna é zero → por Gauss
.\n- Para
a carga interna é
→ por Gauss
radial, igual ao campo de carga pontual no centro.\n\nForça moral: dá pra decorar o método: “Gauss + simetria esférica = retira-se
e conta-se a carga interna”. Isso resolve muitos problemas semelhantes rapidamente. Boa — você já aprendeu o passo a passo que funciona na prova!
Resposta
(a) Para
:
\n(b) Para
: