[Introdução à Física na graduação - R. Del Sant - Clube de Autores,
ed
. Um canhão no solo dispara um obus a uma velocidade inicial de
, num ângulo de
relativamente à direção horizontal. Determine para o obus:
a) as componente horizontal e vertical de sua velocidade inicial
b) as equações horárias de seu movimento (espaço e velocidade)
c) a altura máxima atingida
d) a velocidade no ponto de altura máxima
e) o tempo de viagem até o ponto de alcance
f) o alcance
g) a velocidade, a altura e a distância horizontal em 8 s
a) as componente horizontal e vertical de sua velocidade inicial
b) as equações horárias de seu movimento (espaço e velocidade)
c) a altura máxima atingida
d) a velocidade no ponto de altura máxima
e) o tempo de viagem até o ponto de alcance
f) o alcance
g) a velocidade, a altura e a distância horizontal em 8 s
Passo 1
O enunciado dá um canhão que lança um obus com velocidade inicial
num ângulo de
acima da horizontal e pede:
a) as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial;
b) as equações horárias do movimento (posição e velocidade em função do tempo);
c) a altura máxima atingida;
d) a velocidade no ponto de altura máxima;
e) o tempo de viagem até o ponto de alcance (quando o obus volta ao solo);
f) o alcance horizontal total;
g) a velocidade, a altura e a distância horizontal no instante .
b) as equações horárias do movimento (posição e velocidade em função do tempo);
c) a altura máxima atingida;
d) a velocidade no ponto de altura máxima;
e) o tempo de viagem até o ponto de alcance (quando o obus volta ao solo);
f) o alcance horizontal total;
g) a velocidade, a altura e a distância horizontal no instante
Informações dadas e suposições (vou usar explicitamente estas hipóteses porque o enunciado não especificou):
- velocidade inicial
e ângulo ; - desprezamos resistência do ar (movimento é um lançamento oblíquo ideal);
- gravidade
apontando para baixo; - o canhão está no solo e o obus retorna ao mesmo nível de lançamento (mesma altitude de partida e chegada).
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Regra: dada uma velocidade
que faz ângulo
com a horizontal,
Aqui
é a componente horizontal (constante, pois não há aceleração horizontal) e
é a componente vertical inicial (sujeita à aceleração
).
Aplicando com
e
(sabendo que
e
):
Valores numéricos aproximados:
e
.
Passo 3
Equações horárias. Método: separar o movimento nas direções
e
.
-
Direção horizontal: não há aceleração, portanto movimento retilíneo uniforme (MRU).
- Posição horizontal:
Tomando origem em , - Velocidade horizontal:
- Posição horizontal:
-
Direção vertical: há aceleração constante
, então movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). - Posição vertical: usando
e , - Velocidade vertical:
- Posição vertical: usando
Explicando as variáveis:
em segundos desde o disparo;
e
em metros;
e
em
.
Passo 4
Altura máxima. Raciocínio: a altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade chega a zero, isto é
.
Usamos
. Igualando a zero:
Substituindo
e
:
Agora a altura máxima
. Usando a equação da posição vertical:
Podemos também usar a fórmula de energia cinemática (mais direta):
Em
e
:
Substituindo:
Passo 5
Velocidade no ponto de altura máxima. Na altura máxima a componente vertical é zero (
), mas a componente horizontal permanece igual a
. Logo:
A rapidez (módulo da velocidade) no topo é simplesmente
Passo 6
Tempo total de voo até o alcance (quando o projétil volta ao solo:
para
). Resolver
com
Soluções:
(lançamento) e
. Note que
, então este
é o tempo total:
Numericamente:
Passo 7
Alcance horizontal
. Duas formas equivalentes:
- Usando que
:
- Usando fórmula clássica
. Aqui , então
mesmo resultado. Valor numérico aproximado:
Passo 8
Valores no instante
.
- Posição horizontal:
- Posição vertical:
- Componentes da velocidade em
:
Aqui o sinal negativo de
indica que o obus já está descendendo.
- Rapidez (módulo da velocidade) em
:
Passo 9
Resumo rápido e uma palavra de incentivo: você já tem todas as fórmulas úteis para qualquer lançamento oblíquo — decomposição inicial,
,
, e as fórmulas derivadas para tempo de subida, altura máxima e alcance. Respira fundo: com esses passos você resolve variações da mesma questão na prova.
Resposta
a)
b)
c)
d) e rapidez
e)
f)
g) Em (com
e
).
b)
c)
d)
e)
f)
g) Em