Questão 3 (valor 2,0) Determine o fluxo de campo elétrico através de:
um cubo neutro mergulhado num campo elétrico uniforme.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo de campo elétrico através de um cubo neutro mergulhado em um campo elétrico uniforme.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O campo elétrico é uniforme (ou seja, \mathbf{E} tem mesma magnitude e direção em todo o espaço considerado).
  • O corpo considerado é um cubo e é neutro (ou seja, não há carga elétrica no interior do cubo).
  • A pergunta é sobre o fluxo total do campo elétrico através da superfície fechada do cubo (fluxo atravessando todas as seis faces).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico e como calculá-lo para uma superfície plana.
Definição prática: o fluxo elétrico através de uma superfície plana de área A com vetor normal unitário \hat{n} é o produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área \mathbf{A}. Escrevemos
\Phi = \mathbf{E}\cdot\mathbf{A}.
Aqui cada símbolo significa: \mathbf{E} é o vetor campo elétrico (unidade \text{N}\cdot\text{C}^{-1}), \mathbf{A}=A\hat{n} é o vetor área (magnitude A e direção dada pelo normal à superfície), e \Phi é o fluxo (unidade \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-1}).
Usando a definição do produto escalar obtemos para uma superfície plana
\Phi = EA\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{E} e a normal \hat{n} da face.

Passo 3

Agora aplicamos isso às faces do cubo. Pense no cubo com aresta de comprimento a (não precisamos do valor numérico de a, só que cada face tem área A=a^2). Como o campo é uniforme, em cada face o valor de \mathbf{E} é o mesmo e o ângulo \theta entre \mathbf{E} e a normal da face é bem definido para cada face. Existem três pares de faces opostas no cubo.
Considere o par de faces cujas normais estão paralelas à direção do campo (isto é, faces “frente” e “atrás” perpendiculares ao campo). Para a face voltada no sentido do campo temos \theta=0 então
\Phi_{\text{frente}} = EA.
Para a face oposta (normal apontando na direção contrária ao campo) temos \theta=180^\circ e
\Phi_{\text{atrás}} = EA\cos 180^\circ = EA(-1) = -EA.á
Somando esse par:
\Phi_{\text{frente}}+\Phi_{\text{atrás}} = EA - EA = 0.á

Passo 4

Agora considere os outros dois pares de faces, cujas normais são perpendiculares à direção do campo (faces “superior/inferior” e faces “esquerda/direita” se preferir visualizar). Para essas faces o ângulo entre \mathbf{E} e a normal é \theta=90^\circ, e como \cos 90^\circ = 0 temos
\Phi_{\text{face paralela}} = EA\cos 90^\circ = 0.
Cada uma dessas faces contribui com fluxo zero, portanto cada par também contribui com zero.

Passo 5

Somando as contribuições de todas as seis faces do cubo: os três pares dão, respectivamente, 0, 0 e 0. Portanto o fluxo total através da superfície fechada do cubo é
\Phi_{\text{total}} = 0.

Passo 6

Uma argumentação alternativa, mais curta e geral, usa a lei de Gauss: o fluxo total de \mathbf{E} através de uma superfície fechada qualquer é
\Phi_{\text{total}} = \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde q_{\text{int}} é a carga elétrica encerrada pela superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. O enunciado diz que o cubo é neutro (não contém carga), então q_{\text{int}}=0 e assim
\Phi_{\text{total}} = 0.
Essa forma é muito prática na prova: sempre que uma superfície fechada não contém carga, o fluxo total é zero, independentemente da forma da superfície.

Resposta

\Phi_{\text{total}}=0

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