Questão 3 (valor 2,0) Determine o fluxo de campo elétrico através de:
um cubo neutro mergulhado num campo elétrico uniforme.
um cubo neutro mergulhado num campo elétrico uniforme.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o fluxo de campo elétrico através de um cubo neutro mergulhado em um campo elétrico uniforme.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O campo elétrico é uniforme (ou seja,
tem mesma magnitude e direção em todo o espaço considerado). - O corpo considerado é um cubo e é neutro (ou seja, não há carga elétrica no interior do cubo).
- A pergunta é sobre o fluxo total do campo elétrico através da superfície fechada do cubo (fluxo atravessando todas as seis faces).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico e como calculá-lo para uma superfície plana.
Definição prática: o fluxo elétrico através de uma superfície plana de área com vetor normal unitário
é o produto escalar entre o campo elétrico e o vetor área
. Escrevemos
Definição prática: o fluxo elétrico através de uma superfície plana de área
Aqui cada símbolo significa:
é o vetor campo elétrico (unidade
),
é o vetor área (magnitude
e direção dada pelo normal à superfície), e
é o fluxo (unidade
).
Usando a definição do produto escalar obtemos para uma superfície plana
Usando a definição do produto escalar obtemos para uma superfície plana
onde
é o ângulo entre
e a normal
da face.
Passo 3
Agora aplicamos isso às faces do cubo. Pense no cubo com aresta de comprimento
(não precisamos do valor numérico de
, só que cada face tem área
). Como o campo é uniforme, em cada face o valor de
é o mesmo e o ângulo
entre
e a normal da face é bem definido para cada face. Existem três pares de faces opostas no cubo.
Considere o par de faces cujas normais estão paralelas à direção do campo (isto é, faces “frente” e “atrás” perpendiculares ao campo). Para a face voltada no sentido do campo temos
então
Para a face oposta (normal apontando na direção contrária ao campo) temos
e
Somando esse par:
Passo 4
Agora considere os outros dois pares de faces, cujas normais são perpendiculares à direção do campo (faces “superior/inferior” e faces “esquerda/direita” se preferir visualizar). Para essas faces o ângulo entre
e a normal é
, e como
temos
Cada uma dessas faces contribui com fluxo zero, portanto cada par também contribui com zero.
Passo 5
Somando as contribuições de todas as seis faces do cubo: os três pares dão, respectivamente,
,
e
. Portanto o fluxo total através da superfície fechada do cubo é
Passo 6
Uma argumentação alternativa, mais curta e geral, usa a lei de Gauss: o fluxo total de
através de uma superfície fechada qualquer é
onde
é a carga elétrica encerrada pela superfície e
é a permissividade do vácuo. O enunciado diz que o cubo é neutro (não contém carga), então
e assim
Essa forma é muito prática na prova: sempre que uma superfície fechada não contém carga, o fluxo total é zero, independentemente da forma da superfície.