Um cilindro sólido, inifinitamente longo, de raio
, possui uma densidade volumétrica de carga
, onde
e
é a distância ao centro do cilindro, está ao longo do eixo
. a) Encontre a magnitude do campo elétrico a uma distância
e
, do centro do cilindro. b) Esboce um gráfico de
em função de
.
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) Encontrar a magnitude do campo elétrico a uma distância
e do centro de um cilindro sólido infinito de raio . - (b) Esboçar um gráfico de
em função de .
Informações fornecidas (já convertendo para unidades do SI, porque vamos trabalhar com
em SI):
-
-
-
- A densidade volumétrica é dada por
, com (valor fornecido no enunciado). - O eixo do cilindro é o eixo
e a simetria é cilíndrica (campo radial).
Observações importantes sobre o que o enunciado dá: os valores numéricos estão acima; a distribuição de carga indicada é
válida para
(isto é o que o enunciado parece dizer).
Passo 2
Vamos montar a solução usando a lei de Gauss (vou explicar bem devagar porque é a ideia central aqui).
- A lei de Gauss para eletrostática em forma integral diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dividido por
:
- Para um cilindro infinito com distribuição radial que depende só de
, o campo é radial (isto é, aponta na direção ) e tem módulo que depende só de . Um cilindro gaussiano coaxial de raio e comprimento tem área lateral . As bases do cilindro não contribuem para o fluxo (o campo é radial). - Assim a lei de Gauss reduz-se a:
- A carga encerrada
é a integral da densidade sobre o volume até o raio . Para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é (onde é a variável de integração radial). Então
- Substituindo a densidade dada
a integranda fica:
Isto é, a integranda é proporcional a
.
Passo 3
Agora calculamos a integral (mostrando cada etapa):
- Escrever
:
- A integral de
é . Portanto
- Mas
é divergente para . Ou seja, a integral diverge: . Em termos físicos, a densidade diverge muito fortemente quando , produzindo carga total infinita num cilindro com núcleo incluído. Logo o integrando não é integrável no zero e o resultado não é finito.
Além disso há uma inconsistência dimensional/units-check que reforça que algo está errado na formulação dada: se
tem unidades
(como o enunciado diz), então a unidade da expressão
é
ou seja, não tem unidades de densidade volumétrica
. Portanto ou as unidades de
foram escritas erroneamente no enunciado, ou a fórmula da densidade está escrita de forma incorreta. Isso é um sinal claro de problema na formulação do enunciado.
Conclusão direta desta análise: com a densidade exatamente igual a
definida desde
até
, a carga encerrada até qualquer
é infinita (diverge logaritmicamente), logo o campo
não pode ser calculado como um número finito usando Gauss — o problema, como dado, é matematicamente e fisicamente mal posto.
Passo 4
O que fazer então? Vou mostrar duas coisas úteis para você na prova:
-
A consequência imediata: não dá para calcular
nem porque diverge; por isso não existe um valor finito de com os dados dados. -
Mas se o enunciado tivesse incluído um pequeno raio interno sem carga (um “furo” central) de raio
— isto é, se a distribuição valesse somente para — então a integral seria finita e poderíamos dar fórmulas explícitas. Vou fazer isso porque é pedagógico e porque muitas questões parecidas são formuladas dessa forma (ou então a densidade vem com outro expoente). Faço passo a passo:
- Suponha que a distribuição válida comece em
(ou seja, o cilindro tem um núcleo oco de raio ). Então
- Da lei de Gauss:
válida para
(dentro do cilindro oco, mas dentro do corpo carregado).
- Para
(fora do cilindro), a carga total do cilindro (até ) seria:
e o campo fora obedeceria
- Observações sobre o comportamento: para
,
Note que
(porque
) e
cresce inicialmente com
, atinge um máximo quando
. Fazendo a derivada:
logo o máximo interno ocorre quando
, ou seja, em
(se
). Para
o campo decai como
.
Passo 5
Interpretação e resposta ao que foi pedido:
-
Com os números dados e com a densidade
definida a partir de , a carga total dentro de qualquer raio é divergente; portanto não existe um valor finito para em nem em . Além disso, as unidades fornecidas para tornam a expressão para inconsistente dimensionalmente — isto indica erro na formulação original do enunciado. -
Se o enunciado tivesse especificado um raio interno de ausência de carga
(ou se a fórmula real fosse outra), então as fórmulas úteis que deveríamos usar são:
Com essas expressões você poderia calcular numericamente
e
desde que soubesse o valor de
e que as unidades de
estivessem corretas.
- Gráfico qualitativo de
vs (caso com núcleo oco de raio ): -
em . -
aumenta com até um máximo em (se ); caso contrário o máximo é em . - Para
, decai como (hipérbole) com a altura fixa por . - Se não houver
(isto é, se a distribuição começar em ), então não é finito em nenhum — a curva não é bem definida porque a carga interna é infinita.
-
Resposta
a) Não é possível calcular
nem
com a densidade
definida desde
: a integral para a carga encerrada diverge (a densidade comporta-se como
perto de
) e as unidades de
dadas geram inconsistência dimensional.
b) Se houvesse um núcleo oco de raio , o gráfico seria qualitativo como segue:
, cresce até um máximo em
(se
) e, para
, decai como
.
b) Se houvesse um núcleo oco de raio