Um cilindro sólido, inifinitamente longo, de raio R=10,00 c m, possui uma densidade volumétrica de carga \rho=A R / r^{2}, onde A=6,4 \cdot 10^{-8} C / m^{3} e r é a distância ao centro do cilindro, está ao longo do eixo y. a) Encontre a magnitude do campo elétrico a uma distância r=4,00 c m e r=10,00 c m, do centro do cilindro. b) Esboce um gráfico de E em função de r.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Encontrar a magnitude do campo elétrico a uma distância \,r=4{,}00\\ \text{cm}\, e \,r=10{,}00\\ \text{cm}\, do centro de um cilindro sólido infinito de raio \,R=10{,}00\\ \text{cm}\,.
  • (b) Esboçar um gráfico de E em função de r.
Informações fornecidas (já convertendo para unidades do SI, porque vamos trabalhar com \varepsilon_0 em SI):
  • \,R=10{,}00\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.
  • \,r_1=4{,}00\\ \text{cm}=0{,}04\\ \text{m}.
  • \,r_2=10{,}00\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.
  • A densidade volumétrica é dada por \,\rho(r)=\dfrac{A R}{r^{2}}, com A=6{,}4\cdot10^{-8}\\ \text{C}/\text{m}^{3} (valor fornecido no enunciado).
  • O eixo do cilindro é o eixo y e a simetria é cilíndrica (campo radial).
Observações importantes sobre o que o enunciado dá: os valores numéricos estão acima; a distribuição de carga indicada é \rho(r)=A R / r^{2} válida para 0\le r\le R (isto é o que o enunciado parece dizer).

Passo 2

Vamos montar a solução usando a lei de Gauss (vou explicar bem devagar porque é a ideia central aqui).
  • A lei de Gauss para eletrostática em forma integral diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dividido por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Para um cilindro infinito com distribuição radial que depende só de r, o campo é radial (isto é, aponta na direção \hat r) e tem módulo E(r) que depende só de r. Um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L tem área lateral A_{\text{lat}}=2\pi r L. As bases do cilindro não contribuem para o fluxo (o campo é radial).
  • Assim a lei de Gauss reduz-se a:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0}.
  • A carga encerrada Q_{\text{enc}}(r) é a integral da densidade sobre o volume até o raio r. Para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV=2\pi r' L\,dr' (onde r' é a variável de integração radial). Então
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,2\pi r' L\,dr'.
  • Substituindo a densidade dada \rho(r')=\dfrac{A R}{r'^{2}} a integranda fica:
\rho(r')\,2\pi r' L = \frac{A R}{r'^{2}} \cdot 2\pi r' L = 2\pi A R L \cdot \frac{1}{r'}.
Isto é, a integranda é proporcional a 1/r'.

Passo 3

Agora calculamos a integral (mostrando cada etapa):
  • Escrever Q_{\text{enc}}(r):
Q_{\text{enc}}(r)=2\pi A R L \int_{0}^{r} \frac{1}{r'}\,dr'.
  • A integral de 1/r' é \ln r'. Portanto
Q_{\text{enc}}(r)=2\pi A R L \left[\ln(r')\right]_{0}^{r}=2\pi A R L \left(\ln r - \ln 0\right).
  • Mas \ln 0 é divergente para -\infty. Ou seja, a integral diverge: Q_{\text{enc}}(r)\to +\infty. Em termos físicos, a densidade \rho(r)\propto 1/r^{2} diverge muito fortemente quando r\to 0, produzindo carga total infinita num cilindro com núcleo incluído. Logo o integrando não é integrável no zero e o resultado não é finito.
Além disso há uma inconsistência dimensional/units-check que reforça que algo está errado na formulação dada: se A tem unidades \text{C}/\text{m}^{3} (como o enunciado diz), então a unidade da expressão \dfrac{A R}{r^{2}} é
\frac{\text{C}/\text{m}^{3}\times \text{m}}{\text{m}^{2}}=\text{C}/\text{m}^{4},
ou seja, não tem unidades de densidade volumétrica \text{C}/\text{m}^{3}. Portanto ou as unidades de A foram escritas erroneamente no enunciado, ou a fórmula da densidade está escrita de forma incorreta. Isso é um sinal claro de problema na formulação do enunciado.
Conclusão direta desta análise: com a densidade exatamente igual a \rho(r)=A R/r^{2} definida desde r=0 até r=R, a carga encerrada até qualquer r>0 é infinita (diverge logaritmicamente), logo o campo E(r) não pode ser calculado como um número finito usando Gauss — o problema, como dado, é matematicamente e fisicamente mal posto.

Passo 4

O que fazer então? Vou mostrar duas coisas úteis para você na prova:
  1. A consequência imediata: não dá para calcular E(0{,}04\\ \text{m}) nem E(0{,}10\\ \text{m}) porque Q_{\text{enc}} diverge; por isso não existe um valor finito de E com os dados dados.
  2. Mas se o enunciado tivesse incluído um pequeno raio interno sem carga (um “furo” central) de raio a>0 — isto é, se a distribuição valesse somente para a\le r\le R — então a integral seria finita e poderíamos dar fórmulas explícitas. Vou fazer isso porque é pedagógico e porque muitas questões parecidas são formuladas dessa forma (ou então a densidade vem com outro expoente). Faço passo a passo:
  • Suponha que a distribuição válida comece em r=a>0 (ou seja, o cilindro tem um núcleo oco de raio a). Então
Q_{\text{enc}}(r)=2\pi A R L \int_{a}^{r}\frac{1}{r'}\,dr'=2\pi A R L\ln\!\left(\frac{r}{a}\right).
  • Da lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{2\pi r L}\cdot\frac{2\pi A R L\ln(r/a)}{\varepsilon_0}=\frac{A R}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\ln(r/a)}{r},
válida para a<r<R (dentro do cilindro oco, mas dentro do corpo carregado).
  • Para r>R (fora do cilindro), a carga total do cilindro (até R) seria:
Q_{\text{tot per length}}=\frac{Q_{\text{enc}}(R)}{L}=2\pi A R \ln\!\left(\frac{R}{a}\right),
e o campo fora obedeceria
E(r)=\frac{1}{2\pi r \varepsilon_0}\,Q_{\text{tot per length}}=\frac{A R}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\ln(R/a)}{r},\qquad r>R.
  • Observações sobre o comportamento: para a<r<R,
E(r)=\frac{A R}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\ln(r/a)}{r}.
Note que E(a^+)=0 (porque \ln(r/a)\to0) e E(r) cresce inicialmente com r, atinge um máximo quando \dfrac{dE}{dr}=0. Fazendo a derivada:
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{\ln(r/a)}{r}\right)=\frac{1-\ln(r/a)}{r^{2}},
logo o máximo interno ocorre quando \ln(r/a)=1, ou seja, em r=a e (se a e\le R). Para r\ge R o campo decai como 1/r.

Passo 5

Interpretação e resposta ao que foi pedido:
  • Com os números dados e com a densidade \rho(r)=A R/r^{2} definida a partir de r=0, a carga total dentro de qualquer raio r>0 é divergente; portanto não existe um valor finito para E(r) em \,r=4{,}00\\ \text{cm} nem em \,r=10{,}00\\ \text{cm}. Além disso, as unidades fornecidas para A tornam a expressão para \rho inconsistente dimensionalmente — isto indica erro na formulação original do enunciado.
  • Se o enunciado tivesse especificado um raio interno de ausência de carga a>0 (ou se a fórmula real fosse outra), então as fórmulas úteis que deveríamos usar são:
\boxed{E(r)=\frac{A R}{\varepsilon_0}\,\frac{\ln(r/a)}{r}\quad\text{para }a<r<R,}
\boxed{E(r)=\frac{A R}{\varepsilon_0}\,\frac{\ln(R/a)}{r}\quad\text{para }r>R.}
Com essas expressões você poderia calcular numericamente E(0{,}04\\ \text{m}) e E(0{,}10\\ \text{m}) desde que soubesse o valor de a e que as unidades de A estivessem corretas.
  • Gráfico qualitativo de E vs r (caso com núcleo oco de raio a):
    • E(r)=0 em r=a.
    • E(r) aumenta com r até um máximo em r=a e (se a e\le R); caso contrário o máximo é em r=R.
    • Para r>R, E(r) decai como 1/r (hipérbole) com a altura fixa por \ln(R/a).
    • Se não houver a>0 (isto é, se a distribuição começar em r=0), então E(r) não é finito em nenhum r>0 — a curva não é bem definida porque a carga interna é infinita.

Resposta

a) Não é possível calcular E(0{,}04\\ \text{m}) nem E(0{,}10\\ \text{m}) com a densidade \rho(r)=A R/r^{2} definida desde r=0: a integral para a carga encerrada diverge (a densidade comporta-se como 1/r^{2} perto de r=0) e as unidades de A dadas geram inconsistência dimensional.
b) Se houvesse um núcleo oco de raio a>0, o gráfico seria qualitativo como segue: E(a)=0, cresce até um máximo em r=a e (se a e\le R) e, para r>R, decai como E(r)\propto 1/r.

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