Uma casca esférica de raio R1 está carregada com uma densidade superficial de carga sigma. No centro da casca, há uma carga pontual Q. Determine o campo elétrico em função da distância r do centro (i) dentro da casca ( r )

Passo 1

Beleza, aqui o problema é o seguinte: temos uma casca esférica de raio que carrega uma densidade superficial de carga e, bem no centro dela, uma carga pontual . A gente quer achar o campo elétrico pra um ponto que esteja dentro da casca, ou seja, quando . O conteúdo que vamos usar é Eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss. Vamos precisar lembrar como montar uma superfície gaussiana e calcular o fluxo do campo, além de conhecer o resultado de que uma casca esférica não gera campo dentro dela.

Passo 2

Primeiro, a Lei de Gauss diz que
ointS Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0,
onde E(r);times;4pi r^2 ;=;Qintvarepsilon0 é a carga total dentro da superfície fechada . A simetria esférica do problema garante que, para uma superfície esférica de raio , o campo tem módulo constante e direção radial. Então o fluxo vira

Passo 3

Agora, pra Qint = Q , nossa superfície gaussiana de raio envolve só a carga pontual no centro. A casca de raio fica “lá fora”, então não contribui para . Logo

Passo 4

Substituindo na Lei de Gauss:
E(r);4pi r^2 ;=;Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2
A direção é radial, apontando pra fora se ou pra dentro se .

Resposta

boxedE(r) ;=; 14pivarepsilon0,Qr^2,r para r < R1

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